Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(alguem viu a do Luciano GM?)

[Luciano Castro <lucianocastro@xxxxxxxxxxxxx>]

At 13:59 01/11/02 -0300, you wrote:

>Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua soluçao?Como 
>ele entende bem de projetiva,a soluçao deve ser legal.
>
>

Oi, pessoal,

Eu mostrei minha solução na segunda-feira passada, em nossa já tradicional 
aula de preparação no IMPA. Estavam presentes 3 alunos, se não me engano: 
Flavia Correia, Alex Abreu e Fabio Moreira.

Como o Nicolau já disse, minha solução é bem complicada. Eu espero 
comentá-la na semana Olímpica.

É difícil escrever a solução em formato e-mail. Vou dar os passos principais:

1) Dualizamos tudo (por razões psicológicas). Temos então duas cônicas não 
degeneradas tangentes a 4 retas fixas. Queremos provar que os oito pontos 
de tangência pertencem a uma cônica.

2) Considere os 4 pontos de tangência de uma das cônicas. Utilizando muitas 
vezes as propriedades de reta polar, provamos que o triangulo diagonal do 
quadrilátero formado por esses 4 pontos está determinado pelas 4 retas 
tangentes. (o triangulo diagonal do quadrilatero ABCD é formado pelos 
pontos AB.CD , AC.BD , AD.BC).

3) Agora basta provar que se dois quadriláteros possuem o mesmo triângulo 
diagonal, seus 8 vértices pertencem a uma cônica. Para isso, consideramos a 
cônica determinada por um quadrilátero e um vértice do outro quadrilátero e 
usamos a definição projetiva de conjugado harmonico junto com a seguinte 
propriedade da reta polar: se uma reta passa pelo ponto P e corta uma 
cônica nos pontos A e B, e corta a polar de P em relação a essa conica no 
ponto Q, então P e Q dividem harmonicamente o segmento AB.

Há muitos detalhes a completar, mas espero que vocês consigam fazê-lo. 
Leiam o artigo sobre Geometria Projetiva da Eureka 8. As propriedades 
necessárias estão todas lá.






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