Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Oct 30, 2002 at 04:07:25PM -0200, Marcio wrote:
>     O que exatamente significa uma transformacao projetiva? Na prova eu
> cheguei a escrever que era possivel, via uma transformacao linear,
> considerar o problema "mais simples" no qual uma das elipses eh um circulo..
> Mas nao sabia que era possivel reduzir ao caso em que os eixos da elipse que
> sobra eram paralelos aos eixos x,y (e pelo jeito, concentrica com o
> circulo)..  Tem alguma referencia legal onde eu possa saber mais sobre
> transformacoes desse tipo? Esse parece ser um assunto interessante para a
> proxima semana olimpica...

Identifique o plano xy com o plano z=1 em R^3. Considere uma transformação
linear (ou matriz) 3x3 A qq que leva (x,y,1) em (u,v,w). Bem, o ponto (u,v,w)
em geral não está no nosso plano mas podemos projetá-lo lá radialmente
multiplicando por 1/w: assim a imagem de (x,y,1) será (u/w,v/w,1).
Eliminando a terceira coordenada, uma transformação projetiva é

(x,y) |-> ((a11 x + a12 y + a13)/(a31 x + a32 y + a33),
           (a21 x + a22 y + a23)/(a31 x + a32 y + a33))

com det A diferente de zero. Estas transformações levam cônicas em cônicas.

[]s, N.
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