Re: [obm-l] Ajuda em probabilidade

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

hmmm, isso me lembra uns exercícios de processos estocásticos.
podemos considerar os estados como simplesmente a distância entre o número
de caras e de coroas, sendo que é fácil verificar a probabilidade em que a
distância aumenta ou diminui.

queremos verificar a probabilidade de num tempo infinito o processo retornar
ao estado 0 (nr. de caras = nr. de coroas)

seja N = Caras - Coroas
P[k, k + 1] = p
p[k, k - 1] = 1 - p

esse é um passeio aleatório discreto.


seja: P[n](i,i) == Probabilidade de sair de i e chegar em i em n passos
existe um teorema que afirma que um determinado estado i é:
    recorrente se soma{n=1 -> infinito} P[n](i,i) = oo
    transiente se soma{n=1 -> infinito} P[n](i,i) < oo

é fácil perceber que P[2k-1](0,0) = 0 pra todo k.
P[2k](0,0) = binomial(2k, k).(p.(1-p))^k

dá pra verificar que a soma infinta diverge apenas para p = 1/2 (é o valor
que maximiza p.(1-p))
eu poderia até escrever aqui a demonstração disso, que é bastante razoável,
ela usa a aproximação de Stirling para k!
depois você usa um critério de convergência de séries (acho q o critério da
razão deve servir).

o resultado final é que, para p != 1/2, temos que o estado 0 é transiente e
o número de vezes que ele retorna ao estado 0 é modelado por uma
distribuição geométrica.


PS: Eu vi a demonstração no livro "Introduction to Probability Models" -
autor: "Sheldon Ross".


----- Original Message -----
From: Felipe Villela Dias
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, November 03, 2002 11:09 PM
Subject: [obm-l] Ajuda em probabilidade


Um moeda é viciada, ou seja tem uma probabilidade p, p diferente de 50%, de
dar cara e uma probabilidade 1 - p de dar coroa. Sendo assim, se você jogar
a moeda infinitas qual a probabilidade de que em pelo menos um instante o
número de vezes que saiu cara vai ser igual ao número de vezes que saiu
coroa?




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