[obm-l] Re: exponencial

["Alexandre Tessarollo" <tessa@xxxxxxxx>]

>Resolva:
>[( raiz quadrada de 3) + 1]^x + [( raiz quadrada de 3) - 1]^x = 8
>
>
>Graficamente vejo duas soluções: uma positiva ( x = 2)e outra
>negativa.
>Me pediram algebricamente. Divido com vocês a dor de cabeça.

=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+


 Nooossa, quanto tempo faz que não escrevo aqui... Bem, de qq forma, vamos lá, de cara partindo p/a grosseria: Vou usar o Binômio de Newton, que diz que
(x+a)^n=sum[p=0, n]{Cn,p*(a)^p}*(x)^(n-p))
Leia-se "... igual a somatório, de p=0 até p=n, de ..."

 No nosso caso, vou expandir (sqrt3+1)^x + (sqrt3-1)^x de uma só vez. Fica:
sum[p=0, x]{Cx,p*(1)^p*(sqrt3)^(x-p)} + sum[p=0, x]{Cx,p*(-1)^p*(sqrt3)^(x-p)}

Juntando num mesmo somatório e colocando a combinação e o sqrt3 em evidência
sum[p=0, x]{Cx,p*(sqrt3)^(x-p)((1)^p+(-1)^p)}

Devido ao (1)^p+(-1)^p, podemos afirmar que o somatório só vai considerar as parcelas com p=2k. Substituindo p por 2k e admitindo x PAR, temos:
sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)*(2)} =
= 2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)}

 Se x for ímpar, o somatório vai de k=0 até k=(x-1)/2. Até aqui eu acho que está tudo certo. Agora pretendo calcular os somatórios em separados, isto é, calcular o sum de Cx,2k e depois o de (sqrt3)^(x-2k).

Primeiro, o de Cx,2k. Montando o triângulo de Pascal, temos

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
etc

Vale lembrar que o somatório de Cx,p é a soma da linha e que, o número i da linha é dado por i=x+1. (Lembra que x era o expoente dos nossos binômios?)
Eliminando os termos da forma Cx,2k+1, temos

1
1 
1 1
1 3 
1 6 1

Creio que seja fácil ver que a soma da linha i é 2^(i-2).Ou, em outras palavras, digo, variáveis, o somatório de Cx,2k vale 2^(x-1).
 
Agora, calculemos o de (sqrt3)^(x-2k). Se vc substituir os valores iniciais de k, verá que se trata de uma PG. Calculando a soma dessa PG num rascunho, achei (3^(x/2+1)-1)/2.

Tomando o somatório que tínhamos e substituindo pelos valores encontrados
2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)}=
= 2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k}*sum[k=0, x/2]{(sqrt3)^(x-2k)}=
= 2*2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)/2 =
= 2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)

Bem, lembrando nós só trabalhamos o lado esquerdo da igualdade proposta pelo problema, podemos igualar o nosso resultado ao lado direito da igualdade. Teremos:

2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)=8 PARA X PAR (lá no meio dos somatórios eu supus que x era par, lembra?)

Para x ímpar, basta fazermos algumas alterações. Se não errei nada, fica
2^(x-1)*sqrt3*(sqrt3^(x+1)-1)=8


 E é no momento em que lembramos que x=2 era raiz que eu lembro porque tinha parado de escrever e-mails na madruga :-) Se vc fizer x=2 na equaçào de x par, vc acha que 16=8!! Ou eu acabei de revolucionar completamente a matemática ou, o que é mais provável, cometi algum erro crasso nas minhas contas. Já revisei-as umas 3 vezes, mas não consegui detectá-lo. Alguém se habilita?

[]'s

Alexandre Tessarollo
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