Re: [obm-l] Ajuda em probabilidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Nov 04, 2002 at 12:09:38AM -0200, Felipe Villela Dias wrote:
> Um moeda é viciada, ou seja tem uma probabilidade p, p diferente de 50%, de
> dar cara e uma probabilidade 1 - p de dar coroa. Sendo assim, se você jogar a
> moeda infinitas qual a probabilidade de que em pelo menos um instante o
> número de vezes que saiu cara vai ser igual ao número de vezes que saiu
> coroa?

Não vai dar para dar uma demonstração totalmente rigorosa mas acho
que isso deve deixar você satisfeito.

Suponha p < 1/2, assim cara é menos provável e a longo prazo teremos
mais coroas do que caras. Supondo que em um certo instante as coroas
tenham uma vantagem n, seja f(n) a probabilidade de que naquele instante
ou mais tarde venhamos a ter um empate. Se n = 0 temos f(n) = 1
por definição. Se n < 0 também temos f(n) = 1 pois as coroas inevitavelmente
superarão qualquer desvantagem. O difícil é saber quanto vale f(n) para
n > 0. Observe que claramente temos 0 < f(n) < 1 para todo n > 0
e temos também lim_{n -> infinito} f(n) = 0. Além disso, para todo n > 0
temos 

f(n) = p f(n-1) + (1-p) f(n+1)

pois jogando uma vez a moeda reduzimos o problema ao caso n-1 ou n+1
conforme sair cara ou coroa, respectivamente. É natural agora conjecturar
(e fácil provar) que

f(n) = a^n para n >= 0 onde a = p/(1-p).

A resposta para o seu problema não é f(0) (que é 1 por definição)
pois aí não contamos o empate inicial de 0x0 antes do jogo começar.
A resposta é portanto

p f(-1) + (1-p) f(1) = p + p = 2p.

No caso p > 1/2 basta trocar todos os p por 1-p e a resposta é 2(1-p).

[]s, N.

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