Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

     Bom, nao encontrei nada sobre transformacoes projetivas aqui em casa,
mas consegui ler um pouco sobre transformacoes de Mobius..
     Dada um transformacao de mobius w = (az+b)/(cz+d), vi que ela mantem o
circulo unitario sse existe k complexo de modulo 1 e e complexo tq w =
k(z-a)/(1-a'z).
     Mas nao consigo entender pq uma transformacao desse tipo preserva
elipses.. Qdo eu pego uma eq. do tipo |z-a|+|z-b|=real +, a,b complexos e
troco z por T-1(w), a eq. resultante nao parece ter a forma de uma elipse..
aonde estou errando?
Alem disso, soh me parecem haver duas constantes complexas, a e k a serem
determinadas na transformacao acima.. Soh com isso eu consigo levar os 4
pontos de intersecao nos vertices de um retangulo com lados paralelos aos
eixos?

     []'s
    Marcio

> Minha solução é a seguinte:
>
> Existe uma transformação projetiva que leva uma elipse no círculo
> unitário (aliás basta pegar uma translação seguida de uma transformação
> linear). Depois disso existe uma outra transformação projetiva
> que mantem o círculo unitário e leva os quatro pontos de interseção
> nos vértices de um retângulo com os lados paralelos aos eixos
> (de fato, transformações projetivas que respeitam o círculo unitário
> funcionam como transformações de Möbius no círculo unitário devidamente
> identificado com R pela projeção estereográfica, que aliás também é
Möbius).
> Com isso as duas elipses são da forma x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
> Agora o problema fica fácil.
>
> Eu mostrei esta solução para o Luciano mas ele acabou não me mostrando
> a dele (parece que era mais longa).
>
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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