Re: [obm-l] OBM-u(e essa tal elipse?)(; ;)

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Oct 29, 2002 at 01:55:31PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:
> 
> Alo Shine,tudo blz?Bem,eu tava pensando nessa ideia de projetar,mas e essa transformaçao de elipse no eixo da circunferencia(ou o contrario?)?
> Te mais!!!!Ass.:Johann 
>  Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> wrote:Oi Humberto e demais amigos da lista!!
> 
> Tudo bem?
> 
> Puxa, eu tive a idéia de considerar o produto dos
> auto-valores também, mas como demorei muito no caso
> n=3 (pensei demais nos casos pequenos...), acabei não
> tendo tempo para finalizar a idéia... eu pensei na
> existência de um auto-vetor positivo, mas acabei não
> conseguindo nem ter tempo para pensar nessa parte do
> problema.
> 
> No 6 eu projetei uma das elipses numa curcunferência.
> Mas o que não sabia era que dava para fazer uma
> transformação de modo que as elipses virem uma
> circunferência e uma elipse cuja reta suporte de um
> eixo passa pelo centro da circunferência. Aí ficava
> mais fácil. Mas, pelo que soube, existe uma solução
> projetiva (né Luciano? ;) ).

Minha solução é a seguinte:

Existe uma transformação projetiva que leva uma elipse no círculo
unitário (aliás basta pegar uma translação seguida de uma transformação
linear). Depois disso existe uma outra transformação projetiva
que mantem o círculo unitário e leva os quatro pontos de interseção
nos vértices de um retângulo com os lados paralelos aos eixos
(de fato, transformações projetivas que respeitam o círculo unitário
funcionam como transformações de Möbius no círculo unitário devidamente
identificado com R pela projeção estereográfica, que aliás também é Möbius).
Com isso as duas elipses são da forma x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1.
Agora o problema fica fácil.

Eu mostrei esta solução para o Luciano mas ele acabou não me mostrando
a dele (parece que era mais longa).

[]s, N.
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