Re: [obm-l] OBM-u

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Humberto e demais amigos da lista!!

Tudo bem?

Puxa, eu tive a idéia de considerar o produto dos
auto-valores também, mas como demorei muito no caso
n=3 (pensei demais nos casos pequenos...), acabei não
tendo tempo para finalizar a idéia... eu pensei na
existência de um auto-vetor positivo, mas acabei não
conseguindo nem ter tempo para pensar nessa parte do
problema.

No 6 eu projetei uma das elipses numa curcunferência.
Mas o que não sabia era que dava para fazer uma
transformação de modo que as elipses virem uma
circunferência e uma elipse cuja reta suporte de um
eixo passa pelo centro da circunferência. Aí ficava
mais fácil. Mas, pelo que soube, existe uma solução
projetiva (né Luciano? ;) ).

[]'s
Shine

--- Humberto Naves <hnaves@yahoo.com> wrote:
>    Oi Shine,
> 
>   Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é
simétrica, ela é diagonalizável, logo det A é o
produto dos auto-valores de A.
>   Primeiramente vamos provar que todos os
auto-valores são positivos. Suponha, por absurdo que
um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não
nulo, tal que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) ,
onde  (T) significa transposto. Seja vi tal que |vi| =
max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}.
> Como m * vi = Somatório com j variando de 1 até n de
aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de aij
* vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de
|aij| com j <> i é menor que 1, temos que |(m - 1) *
vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um absurdo
pois m < 0.
>   Como a soma dos auto-valores (contando as
multiplicidades) é o traço da matriz A que é n, e
todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade
das médias, o produto dos auto-valores é menor ou
igual a 1, ou seja:
>   0 < det A <= 1.

>   Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra,
mas não consegui, e pensei que a solução oficial seria
por projetiva.

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