Re: [obm-l] OBM-u

["Carlos Stein" <carlosstein@xxxxxxxxxx>]

Aproveitando, gostaria conferisse para mim essa solucao:
Por inducao, para matriz n-1 x n-1, simetrica, com 0<a(j,j)<=1, e som(i=1
ate i=n-1)|a(i,j)| < 2a(j,j)
 (se só se Sj = som(i=1 ate i=n-1, i!=j)|a(i,j)| < a(j,j) ),
temos que 0<det(A)<=1.(caso n-1=1 é obvio).
seja agora a matriz A n x n.
Por Chio aplicado em a(1,1), temos detA=a(1,1)xdet B (n-1 x n-1), sendo
b(i,j)= a(i+1,j+1) - a(1,j+1)*a(1,i+1).
na primeira linha de B temos:
b(1,1)=a(2,2)-a(1,2)^2, como 0<=|a(1,2)|<S2<a(2,2)<1 implica 1>=b(1,1)>0.
temos que som(i=2 ate i=n-1)|b(i,1)| <= som(i=3 ate i=n-1)|a(i,2)| +
|a(1,2)| * som(i=3 ate i=n-1)|a(i,1)| <
a(2,2) - |a(1,2)| +|a(1,2)|*( a(1,1) - |a(1,2)| ) = a(2,2) - a(1,2)^2 -
|a(1,2)|( 1-a(1,1) )<=a(2,2) - a(1,2)^2=b(1,1).
Temos o resultado analogo em todas linhas.
Como b(i,j)=b(j,i), entao B satisfaz a hipostese de inducao, logo 0<det B<=1
logo 0<detA=detB*a(1,1)<=a(1,1)<=1. CQD.

Falow,
Carlos


)----- Original Message -----
From: "Humberto Naves" <hnaves@yahoo.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, October 23, 2002 6:30 PM
Subject: Re: [obm-l] OBM-u


>    Oi Shine,
>
>   Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A é simétrica, ela é
diagonalizável,
> logo det A é o produto dos auto-valores de A.
>   Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores são positivos.
Suponha,
> por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V não
nulo, tal
> que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde  (T) significa
transposto.
> Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi =
Somatório com
> j variando de 1 até n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de
aij
> * vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i é
menor
> que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um
> absurdo
> pois m < 0.
>   Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) é o traço da
> matriz A que é n, e todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade
das
> médias, o produto dos auto-valores é menor ou igual a 1, ou seja:
>   0 < det A <= 1.
>
>   Já o problema 6, eu tentei resolver por álgebra, mas não consegui, e
pensei
> que a solução oficial seria por projetiva.
>
>   Falow, Humberto
>  --- Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> escreveu: > Olá amigos da
lista!!
> >
> > Bom, lá vão minhas impressões sobre a OBM-u 2002...
> >
> > Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
> > legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
> > problema 3 mais fácil que o 2.
> >
> > Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 são bastante
> > adequados para alunos que estão no nível 3 (eu, em
> > particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
> > esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) também
> > é adequado.
> >
> > O segundo dia tinha problemas bem interessantes
> > também. No 5, eu resolvi com a definição a_n =
> > \prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
> > um errinho no final (só vi isso hoje!) com uma
> > estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) >
> > \epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
> > aparecem k e's.
> >
> > O 4 eu demorei bastante para fazer pois não vi a
> > substituição trigonométrica de cara... depois de
> > encontrar um polinômio de grau 8, achar duas de suas
> > raízes e obter um polinômio de grau 6, demorei
> > bastante. Tanto é que na minha prova está escrito em
> > algum lugar "vou fatorar esse polinômio de qualquer
> > jeito!" :) Mas fatorei em dois polinômios de grau 3 e
> > finalmente resolvi com a substituição trigonométrica.
> >
> > Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
> > umas idéias neles que parecem que vão para a frente.
> >
> > []'s
> > Shine
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