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Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Apenas lembrando, porque costuma-se realçar quando se usa o axioma da
escolha, há uma corrente filosófica de matemáticos que não aceitam o axioma
da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os intuicionistas). O
axioma da escolha nos garante a existência de objetos que não podemos
determinar quem, exatamente, ele é. Esse tipo de coisa os construtivistas
não aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca
saberemos quem é, ou onde está? O teorema de Weierstrass, que diz que toda
função real contínua sobre um intervalo fechado assume máximo, não é aceita
pelos construtivistas, pois não podemos exibir esse ponto de máximo. Por
outro lado não podemos dizer que não existe ponto de máximo, pois isso seria
garantir que todos os pontos não são de máximo, o que não devemos assegurar.
Por isso na lógica intuicionista "A ou não A" pode ser falso, e A não é
equivalente a "não não A".
Todas essas complicações geradas pelo construtivismo fizeram que esse
caísse um pouco no esquecimento. Hoje parece que há poucos matemáticos
construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que gerou o
construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos com
coisas obtidas não construtivamente. Enfim, há sempre uma fagulha de
construtivista em nós. É certo que os mais radicais não admitem nem prova
por absurdo, mas o axioma da escolha já seria o maior crime que se poderia
cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstrações, é sempre bom
ressaltar o que é construtivo e o que não é. Por exemplo, o Paradoxo de
Banach-Tarski, sobre a duplicação da esfera, citada pelo Paulo, é
não-construtiva.
Sobre o problema da violência, resta um consolo: se o conjunto dos
bandidos, dado pelo problema, já estiver bem ordenado (por exemplo, se é
enumerável), não precisamos do axioma da escolha, e não cometeremos uma
"violência" contra os intuicionistas. O difícil vai ser achar bandidos bem
ordenados...
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Axioma da Escolha
>Date: Thu, 12 Sep 2002 21:56:07 +0000
>
>Ola PROF NICOLAU e demais
>colegas desta lista ... OBM-L,
>
>Vou fazer um comentario a mensagem abaixo que talvez ajude alguns membros
>desta lista entenderem porque muitos Matematicos - em especial aqueles que
>conhecem logica e teoria dos conjuntos - acham relevante destacar que esta
>ou aquela prova ou argumentacao matematica usa o AXIOMA DA ESCOLHA.
>
>Tarski, entre outros, mostrou que o uso do AXIOMA DA ESCOLHA com os demais
>axiomas da teoria dos conjuntos levam-nos inevitavelmente a conclusoes
>pouco verossimeis. Em particular ele mostrou que poderiamos dividir uma
>esfera dada em ao menos cinco partes e, unindo novamente as partes de outra
>forma, derivar nao uma, mas duas esferas identicas a primitiva.
>
>O fato acima, por paradoxal que parece, e logicamente inatacavel e uma das
>consequencias bizarras que este axioma implica. Muitos Matematicos supunham
>que tais resultados eram derivados da liberalidade dado a FUNCAO DE
>ESCOLHA, pois pode-se usar a que quisermos conquanto respeitemos o aspecto
>formal do axioma.
>
>A partir deste resultado do Tarski ( e de outros tambem ) os Matematicos
>comecaram a suspeitar que o AXIOMA DA ESCOLHA era um principio nefasto,
>sendo provavelmente o responsavel por possiveis e potenciais
>inconsistencias que a teoria do conjuntos tivesse ou viesse a ter. Dai
>surgiu a desconfianca com as demonstracoes com este axioma. Por prudencia,
>toda prova que usava este teorema era rotulada "USA O AXIOMA DA ESCOLHA",
>como que insinuando : "PROCURE UMA OUTRA MANEIRA DE PROVAR ISSO ... "
>
>Aqui entra o Magistral GODEL ...
>
>Godel classificou as teorias dos conjuntos em :
>
>1) Teoria Cantoriana A e aquela que usa o AXIOMA DA ESCOLHA.
>2) Teoria Cantoriana B e aquela em que nao usa o AXIOMA DA ESCOLHA.
>
>E provou o seguinte :
>
>SE A TEORIA CANTORIANA "A" CONTIVER OU GERAR INCONSISTENCIAS, A TEORIA
>CANTORIA "B" TAMBEM CONTERA E GERARA INCONSISTENCIAS.
>
>Isto e, o AXIOMA DA ESCOLHA nao e o responsavel por possiveis
>inconsistencias ou paradoxas que porventura derivem da teoria dos
>conjuntos. Ele pode ser um CATALISADOR destas inconsistencias, evidenciando
>de forma mais direta e clara possiveis absurdos ...
>
>Agora, uma observacao sobre o Paradoxo de Tarski.
>
>O que ha de absurdo nele ? A criacao de Massa ( duplicacao de uma esfera )
>sem a necessaria absorcao de uma fabulosa quantidade de Energia ? Mas ...
>Nao e isso que rotineiramente ocorre no mundo das particulas elementares,
>quando, do nada, surge uma massa que posteriormente desapare num par de
>particulas antipodas ? E mais provavel que este fato ou operacao seja
>paradoxal para o nosso cotidiano, nao para o Autor da Natureza que, hoje
>sabemos, continuamente faz isso ...
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>5,1854,120902
>
>>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Axioma da Escolha
>>Date: Thu, 12 Sep 2002 17:32:17 -0300
>>
>>On Wed, Sep 11, 2002 at 04:01:42PM -0300, 498 - Artur Costa Steiner wrote:
>> > Nos últimos dias o Axioma da Escolha foi bastante mencionado nesta
>> > lista, motivado por um interessante problema (violência), sugerido por
>> > uma das participantes, e que involve este axioma.
>> >
>> > Eu não estou certo, mas, no meio matemático, ainda existem hoje
>> > restrições a este axioma, no sentido de que alguma prova nele baseada
>> > possa ser considerada questionável ou mesmo inválida?
>>
>>Este assunto mereceria uma resposta mais longa, mas o axioma da escolha
>>é 'aceito' no sentido seguinte: a maioria dos matemáticos usa este
>>axioma sem parar para pensar no assunto. Aliás sem nem saber direito
>>quando está realmente usando o axioma. Alguns matemáticos, entretanto,
>>especialmente especialistas em lógica ou teoria dos conjuntos, acham
>>interessante notar exatamente quando o tal axioma é utilizado.
>>
>>[]s, N.
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>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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