Re: [obm-l] Axioma da Escolha

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola PROF NICOLAU e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Vou fazer um comentario a mensagem abaixo que talvez ajude alguns membros 
desta lista entenderem porque muitos Matematicos - em especial aqueles que 
conhecem logica e teoria dos conjuntos - acham relevante destacar que esta 
ou aquela prova ou argumentacao matematica usa o AXIOMA DA ESCOLHA.

Tarski, entre outros, mostrou que o uso do AXIOMA DA ESCOLHA com os demais 
axiomas da teoria dos conjuntos levam-nos inevitavelmente a conclusoes pouco 
verossimeis. Em particular ele mostrou que poderiamos dividir uma esfera 
dada em ao menos cinco partes e, unindo novamente as partes de outra forma, 
derivar nao uma, mas duas esferas identicas a primitiva.

O fato acima, por paradoxal que parece, e logicamente inatacavel e uma das 
consequencias bizarras que este axioma implica. Muitos Matematicos supunham 
que tais resultados eram derivados da liberalidade dado a FUNCAO DE ESCOLHA, 
pois pode-se usar a que quisermos conquanto respeitemos o aspecto formal do 
axioma.

A partir deste resultado do Tarski ( e de outros tambem ) os Matematicos 
comecaram a suspeitar que o AXIOMA DA ESCOLHA era um principio nefasto, 
sendo provavelmente o responsavel por possiveis e potenciais inconsistencias 
que a teoria do conjuntos tivesse ou viesse a ter. Dai surgiu a desconfianca 
com as demonstracoes com este axioma. Por prudencia, toda prova que usava 
este teorema era rotulada "USA O AXIOMA DA ESCOLHA", como que insinuando : 
"PROCURE UMA OUTRA MANEIRA DE PROVAR ISSO ... "

Aqui entra o Magistral GODEL ...

Godel classificou as teorias dos conjuntos em :

1) Teoria Cantoriana A e aquela que usa o AXIOMA DA ESCOLHA.
2) Teoria Cantoriana B e aquela em que nao usa o AXIOMA DA ESCOLHA.

E provou o seguinte  :

SE A TEORIA CANTORIANA "A" CONTIVER OU GERAR INCONSISTENCIAS, A TEORIA 
CANTORIA "B" TAMBEM CONTERA E GERARA INCONSISTENCIAS.

Isto e, o AXIOMA DA ESCOLHA nao e o responsavel por possiveis 
inconsistencias ou paradoxas que porventura derivem da teoria dos conjuntos. 
Ele pode ser um CATALISADOR destas inconsistencias, evidenciando de forma 
mais direta e clara possiveis absurdos ...

Agora, uma observacao sobre o Paradoxo de Tarski.

O que ha de absurdo nele ? A criacao de Massa ( duplicacao de uma esfera ) 
sem a necessaria absorcao de uma fabulosa quantidade de Energia ? Mas ... 
Nao e isso que rotineiramente ocorre no mundo das particulas elementares, 
quando, do nada, surge uma massa que posteriormente desapare num par de 
particulas antipodas ? E mais provavel que este fato ou operacao seja 
paradoxal para o nosso cotidiano, nao para o Autor da Natureza que, hoje 
sabemos, continuamente faz isso ...

Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1854,120902

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Axioma da Escolha
>Date: Thu, 12 Sep 2002 17:32:17 -0300
>
>On Wed, Sep 11, 2002 at 04:01:42PM -0300, 498 - Artur Costa Steiner wrote:
> > Nos últimos dias o Axioma da Escolha foi bastante mencionado nesta
> > lista, motivado por um interessante problema (violência), sugerido por
> > uma das participantes, e que involve este axioma.
> >
> > Eu não estou certo, mas, no meio matemático, ainda existem hoje
> > restrições a este axioma, no sentido de que alguma prova nele baseada
> > possa ser considerada questionável ou mesmo inválida?
>
>Este assunto mereceria uma resposta mais longa, mas o axioma da escolha
>é 'aceito' no sentido seguinte: a maioria dos matemáticos usa este
>axioma sem parar para pensar no assunto. Aliás sem nem saber direito
>quando está realmente usando o axioma. Alguns matemáticos, entretanto,
>especialmente especialistas em lógica ou teoria dos conjuntos, acham
>interessante notar exatamente quando o tal axioma é utilizado.
>
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