RE: [obm-l] Axioma da Escolha

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

> Apenas lembrando, porque costuma-se real�ar quando se usa o axioma da
> escolha, h� uma corrente filos�fica de matem�ticos que n�o aceitam o
> axioma
> da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os
intuicionistas). O
> axioma da escolha nos garante a exist�ncia de objetos que n�o podemos
> determinar quem, exatamente, ele �. Esse tipo de coisa os
construtivistas
> n�o aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca
> saberemos quem �, ou onde est�? O teorema de Weierstrass, que diz que
toda
> fun��o real cont�nua sobre um intervalo fechado assume m�ximo, n�o �
> aceita
> pelos construtivistas, pois n�o podemos exibir esse ponto de m�ximo.
[Artur Costa Steiner] 

Ms este teorema � um dos mais importantes da matem�tica
 Por
> outro lado n�o podemos dizer que n�o existe ponto de m�ximo, pois isso
> seria
> garantir que todos os pontos n�o s�o de m�ximo, o que n�o devemos
> assegurar.
> Por isso na l�gica intuicionista "A ou n�o A" pode ser falso, e A n�o
�
> equivalente a "n�o n�o A".
[Artur Costa Steiner] 

Acho que � tamb�m importante lembrar que muitas provas na matem�tica
basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, v�rias das provas dos
teoremas ligados �  compaticidade de espa�os m�tricos enquadram-se nesta
categoria, como o que afirma que S � compacto <===> S � sequencialmente
compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ningu�m
as questiona.

    ,
>    Todas essas complica��es geradas pelo construtivismo fizeram que
esse
> ca�sse um pouco no esquecimento. Hoje parece que h� poucos matem�ticos
> construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que
gerou
> o
> construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos
com
> coisas obtidas n�o construtivamente. Enfim, h� sempre uma fagulha de
> construtivista em n�s. � certo que os mais radicais n�o admitem nem
prova
> por absurdo, mas o axioma da escolha j� seria o maior crime que se
poderia
> cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstra��es, � sempre
bom
> ressaltar o que � construtivo e o que n�o �. Por exemplo, o Paradoxo
de
> Banach-Tarski, sobre a duplica��o da esfera, citada pelo Paulo, �
> n�o-construtiva.
>     Sobre o problema da viol�ncia, resta um consolo: se o conjunto dos
> bandidos, dado pelo problema, j� estiver bem ordenado (por exemplo, se
�
> enumer�vel), n�o precisamos do axioma da escolha, e n�o cometeremos
uma
> "viol�ncia" contra os intuicionistas. O dif�cil vai ser achar bandidos
bem
> ordenados...
> 
[Artur Costa Steiner] 
Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha?
Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos
infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, ent�o n�o
precisamos do axioma?

Artur
> 

=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista � <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================