Re: [obm-l] A volta do futebol arte !

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Sep 05, 2002 at 09:02:21PM -0300, Wagner wrote:
> Oi pessoas!!!   
> 
> Como hoje não estou muito inspirado hoje, vou propor um problema simples
> ( para não dizer ridículo ):
> 
> Se você pegar uma bola de futebol e achatar todas as suas faces de modo
> que elas fiquem retas, você terá um poliedro com 60 vértices (em uma bola
> de futebol de qualidade e que não tenha sido comprada na 25 de março, é
> claro) . Como a maioria sabe, a costura da bola de futebol forma
> pentágonos e hexágonos regulares, arranjados de forma que em volta de
> cada pentágono existem 5 hexágonos e em volta de cada hexágono existem 3
> pentágonos e 3 hexágonos. Logo quantas faces de uma bola de futebol são
> pentagonais e quantas são hexágonais ?

Sem responder, este é um exemplo de poliedro arquimediano.
Os poliedros arquimedianos são os que têm faces regulares
e todos os vértices iguais (mais precisamente, dados dois
vértices v1 e v2, existe uma isometria do poliedro levando
v1 em v2). O leitor pode tentar listar todos os poliedros
arquimedianos.

Outra coisa legal sobre a bola de futebol: ela é um diagrama
de Cayley para o grupo simples A5. Dados dois vértices da bola (!)
existe uma única isometria preservando orientação levando um vértice
no outro: este grupo de simetrias é isomorfo ao grupo das permutações
pares de um conjunto de 5 elementos. Dá para pintar os hexágonos de 5
cores para ver isso...

[]s, N.
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