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Alo Paulo, pessoal!
PERGUNTA: Se f(x) � uma fun��o
de 5� grau incompleta, quando � poss�vel encontrar as solu��es
algebricamente?
RESPOSTA: Existem varias
situa��es em que isso � poss�vel. Considerando f(x) = ax^5 + bx^4 + ... +
ex + f :
-1� situa��o: f = 0. Nesse caso
zero � solu�ao e pode-se encontrar as outras ra�zes atrav�s de ax^4 + bx^3 + ...
+ e = 0, que pode ser
resolvida algebricamente pelo m�todo de Ferrari
(observe que a situa��o e,f = 0 => f = 0)
-2� situa��o: Sendo x = y + z.
x^5= y^5 + 5(y^4)z + 10(y^3)(z^2) + 10(y^2)(z^3) + 5y(z^4) + z^5 =
y^5 + z^5 + 5(y^3+z^3)(yz) + 10 (y+z)((yz)^2) = x^5
=> Se a=1, e = -10(yz)^2 e f = -(y^5 + z^5 + 5(y^3 + z^3)(yz)) => Se f �
diferente de
zero, a equa��o s� pode ser resolvida
algebricamente se e somente se b,c,d = 0. (Ou quando essa condi��o for
satisfeita pela substitui��o
da inc�gnita x por g-(b/a) em que g passa a ser a
nova inc�gnita, como na resposta das equa��es de 3� e 4� grau)
(N�o tenho muita certeza se a dedu��o na 2�
situa��o esta correta)
Andr�
T.
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