Re: [obm-l] Resposta da pergunta do Paulo Santa Rita

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caro André T.,

considere a equação de 5. grau incompleta
x^5 + 4x^4 + 4x^3 + x + 2 = 0.
Se fizermos a substituição x = y - 4, teremos
y^5 - 16y^4 + 100y^3 - 304y^2 + 449y - 258 = 0.

Portanto nem f=0, nem b,c,d=0 nas duas equações, logo ela não teria soluções
algébricas pelo seu critério, mas veja que a primeira pode ser escrita assim
x^3(x^2 + 4x + 4) + (x + 2) = x^3(x + 2)^2 + (x + 2) = (x + 2)(x^4 + 2x^3 +
1),
logo todas as raízes são algébricas.

Para alguns casos simples que eu testei o seu critério funcionava, por que a
subst. x = y - (b/a), transformava a eq. numa fácil de resolver; deve ser
algo parecido com o que você falou.

Mas não sei se vai ser fácil de demonstrar que um tal critério funciona sem
saber a teoria de Galois, a qual eu não conheço.

Quanto à sua solução para o problema:
mostrar que existem infinitos x complexos tais que x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0.
Você fala em considerar (pi)/1 como uma fração irredutível, o que quer dizer
isso? Afinal (pi) não é inteiro. Depois você fala em (pi)10^n valores de x,
mas como isso é possível se (pi) não é inteiro? Qual o sentido de 1.5
soluções? Pelo que compreendi a sua solução está baseada em aproximações de
pi por números racionais, ou algo assim, mas não saquei como funciona de
fato. É interessante que às vezes um método informal esconde muito mais
coisa que um todo talhado e bonitinho.

Um grande abraço!

Eduardo.
Porto Alegre, RS.

From: Wagner

    Alo Paulo, pessoal!

    PERGUNTA: Se f(x) é uma função de 5º grau incompleta, quando é possível
encontrar as soluções algebricamente?

    RESPOSTA: Existem varias situações em que isso é possível. Considerando
f(x) = ax^5 + bx^4 + ... + ex + f :

    -1ª situação: f = 0. Nesse caso zero é soluçao e pode-se encontrar as
outras raízes através de ax^4 + bx^3 + ... + e = 0, que pode ser
resolvida algebricamente pelo método de Ferrari (observe que a situação e,f
= 0 => f = 0)
    -2ª situação: Sendo x = y + z. x^5= y^5 + 5(y^4)z + 10(y^3)(z^2) +
10(y^2)(z^3) + 5y(z^4) + z^5 =
y^5 + z^5 + 5(y^3+z^3)(yz) + 10 (y+z)((yz)^2) = x^5 => Se a=1, e = -10(yz)^2
e f = -(y^5 + z^5 + 5(y^3 + z^3)(yz)) => Se f é diferente de
zero, a equação só pode ser resolvida algebricamente se e somente se b,c,d =
0. (Ou quando essa condição for satisfeita pela substituição
da incógnita x por g-(b/a) em que g passa a ser a nova incógnita, como na
resposta das equações de 3º e 4º grau)

(Não tenho muita certeza se a dedução na 2ª situação esta correta)

    André T.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================