[obm-l] Axiomas de Peano

[Vinicius José Fortuna <vinicius.fortuna@xxxxxxxxxxxxx>]

Na Eureka 3, p. 26,  há um artigo de Elon Lages Lima chamado "O Princípio da
Indução", onde o autor afirma que o conjunto N dos números naturais é
caracterizado pelas seguintes propriedades:

A) Existe função s: N -> N, que associa a cada n pertencente a N um elemento
s(n) pertecente a N, chamado o sucessor de n.

B) A função s: N-> N é injetiva.

C) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 != s(n) para todo n
pertencente a N.

D) Se um subconjunto X contido em N é tal que 1 pertence a N e s(X) está
contido em X.

As afirmações A, B, C e D são os axiomas de Peano.

Agora vem a minha dúvida. Imagine o conjunto de números:
V = {0, 1, 2, 3, ...} U {a}, onde o elemento 'a' não pertence a {0, 1, 2, 3,
...}
e a função injetiva s: V -> V onde:
s(x) = a, se x=a; senão s(x) = x+1

Temos, então, o conjunto V e a função s que satisfazem os axiomas de Peano.
Dessa forma, podemos dizer que V é o conjunto dos número naturais, mas não
é!!!!!
Qual o problema aí???

Alguém pode esclarecer a minha dúvida?

Obrigado

Vinicius Fortuna




=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================