----- Original Message -----
Sent: Monday, May 20, 2002 3:55
PM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] valor
mínimo
É
possível sim.
1)
Via cálculo
Derive a expressão com relação a "a", iguale a zero, dá uma equação
meio feia mas sai que a=1/2;
1.1) Cálculo incrementado
Note que, se
f(x)=sqrt(1+(1-x)^2)+sqrt(1+x^2), então f(x)=f(1-x), isto é, o gráfico da
função é simétrico com relação à reta x=1/2. Isto sugere fazer y=x-1/2, e
então f(y)=sqrt(1+(y-1/2)^2)+sqrt(1+(y+1/2)^2).
Os cálculos aqui já são um pouco mais simples... Dá até para fazer a
partir daqui sem cálculo, com mágica....
2)
Por geometria
...mas se você quer uma maneira BEM mágica de fazer, pense
assim:
f(a)=sqrt(1+(1-a)^2)+sqrt(1+a^2) é a soma das distâncias
do ponto (1,a) aos pontos (0,1) e (2,0). Em outras palavras, queremos o
ponto P(1,a) na reta x=1 que minimiza as somas das distâncias aos pontos
B(0,1) e C(2,0) -- que são fixos e se encontram um de cada lado da reta!
Ora, o menor caminho BPC é o segmento de reta que liga B a C! Assim, o
mínimo se dá quando B,P e C estão alinhados; note que, então, P será o ponto
médio de BC, isto é, a=1/2.
Legal?
Abraço,
Ralph
-----Mensagem
original-----
De: Eder
[mailto:edalbuquerque@uol.com.br]
Enviada em: sexta-feira, 17 de
maio de 2002 21:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto:
[obm-l] valor mínimo
Olá,
É possível
determinar para que valor de a,tem-se y= sqrt( 1+ (1-a)²) + sqrt(1+ a²)
mínimo?