|
É
possível sim.
1) Via
cálculo
Derive
a expressão com relação a "a", iguale a zero, dá uma equação meio feia mas sai
que a=1/2;
1.1) Cálculo incrementado
Note que, se f(x)=sqrt(1+(1-x)^2)+sqrt(1+x^2),
então f(x)=f(1-x), isto é, o gráfico da função é simétrico com relação à reta
x=1/2. Isto sugere fazer y=x-1/2, e então f(y)=sqrt(1+(y-1/2)^2)+sqrt(1+(y+1/2)^2). Os cálculos aqui
já são um pouco mais simples... Dá até para fazer a partir daqui sem cálculo,
com mágica....
2) Por
geometria
...mas se você quer uma maneira BEM mágica de fazer, pense
assim:
f(a)=sqrt(1+(1-a)^2)+sqrt(1+a^2) é a soma das distâncias do
ponto (1,a) aos pontos (0,1) e (2,0). Em outras palavras, queremos o ponto
P(1,a) na reta x=1 que minimiza as somas das distâncias aos pontos B(0,1) e
C(2,0) -- que são fixos e se encontram um de cada lado da reta! Ora, o menor
caminho BPC é o segmento de reta que liga B a C! Assim, o mínimo se dá quando
B,P e C estão alinhados; note que, então, P será o ponto médio de BC, isto é,
a=1/2.
Legal?
Abraço,
Ralph
-----Mensagem
original-----
De: Eder [mailto:edalbuquerque@uol.com.br] Enviada em: sexta-feira, 17 de maio de 2002 21:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] valor mínimo Olá, É possível determinar para que valor de a,tem-se y= sqrt( 1+ (1-a)²) + sqrt(1+ a²) mínimo? |