Re: [obm-l] questões ajuda importantíssimo

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

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>>Ae, alguem poderia me ajudar nessas questões, na moral!


>>1.prove q existem infinitos n naturais tais q n^2+1|n!


>>2.Temos um tabuleiro 10X10. desejamos colocar n peças em casas do 
>>tabuleiro
>>de tal forma que não existam  4 peças formando um retangulo de lados
>>paralelos aos lados do tabuleiro. determine o maior valor de n para o qual
>>eh possivel fzer tal construção...( gostaria de alguma solução diferente 
>>da
>>q tem na eureka 7...)


>>3.determine todos os primos da forma 1010...1010.

Acho que devem ser os primos da forma 1010...101, pois 10101...1010 é par, 
certo?!
Suponha que temos n + 1 dígitos 1 e n dígitos 0.
Assim:
1010...101 = 10^2n + 10^(2n - 2) + 10^(2n - 4) + ... + 10^2 + 10^0
1010...101 = (100^(n + 1) - 1)/99   =>
1010...101 = (10^(n + 1) - 1)(10^(n + 1) + 1)/99

se n for par então  9 | 10^(n + 1) - 1   e   11 | 10^(n + 1) + 1

Temos então duas possibilidades:
i) 10^(n + 1) - 1 = 9   e   10^(n + 1) + 1 = 11.p
assim: 10^(n + 1) = 10   =>   n = 0  que não satisfaz
ii) 10^(n + 1) - 1 = 9p   e   10^(n + 1) + 1 = 11
assim: 10^(n + 1) = 10   =>   n 0  que não satisfaz

se n for ímpar então 99 | 10^(n + 1) - 1

Temos duas possibilidades:
i) 10^(n + 1) - 1 = 99   e   10^(n + 1) + 1 = p
assim: 10^(n + 1) = 100   =>   n = 1   =>   10^(n + 1) + 1 = 101
que satisfaz o enunciado
ii) 10^(n + 1) - 1 = 99p   e   10^(n + 1) + 1 = 1
novamente temos n = 0  que não serve

portanto o único número primo da forma 1010...101 é 101.




>>  valeuzão!
>>   H!
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Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira

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