Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Oi Nicolau,

Vou olhar a referência com calma (já consultei ela
muito, para outros assuntos).

Explico o que quero: como achar o termo geral a_n
no desenvolvimento de  f(z) = z/(e^z-1) ?

Bom, talvez a idéia seja ao contrário: achar f(z) tal que
a_n é dado por (com possível correção envolvendo 1/n!)

B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.

Imagino que primeiro Bernoulli descobriu estes números
tentando achar as fórmulas de somas de i^k.

O problema posto desta maneira foi resolvido na ref.
abaixo para o caso dos números de Fibonacci.

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: terça-feira, 9 de abril de 2002 13:42
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)


> On Mon, Apr 08, 2002 at 06:19:38PM -0300, Luis Lopes wrote:
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
> >
> > Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
> >
> > Quando r é par, temos o seguinte resultado:
> >
> > H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
> >
> > onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
> > raio de convergência).
> >
> > Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
> > {1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
> >
> > Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
> > a expansão em séries de  z/(e^z-1).
> >
> > Como provar que os coeficientes desta série
> > são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
> >
> > B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
> >
> > Alguma referência?
>
> Fiquei um pouco confuso. O que é explicação, o que é pergunta?
> Em todo caso, há alguma coisa sobre B_n no livro Matemática Concreta
> de Graham, Knuth, Patashnik. []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================