Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.

Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).

Quando r é par, temos o seguinte resultado:

H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},

onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
raio de convergência).

Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.

Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
a expansão em séries de  z/(e^z-1).

Como provar que os coeficientes desta série
são dados por B_0=1 (cálculo direto) e

B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.

Alguma referência?

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: quinta-feira, 4 de abril de 2002 22:22
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)


> Muito obrigado mesmo por esta interessantissima referencia!
> Aproveito para comentar que a demonstracao de Euler (que foi a primeira),
> reproduzida pelo Paulo Santa Rita (estava sumido, hein?) emprega seres
muito
> estranhos (tais como relacoes de Girard para "polinomios infinitos"[sic])
> que hoje nao sao aceitos em Matematica. No entanto, a demonstracao numero
7
> do texto recomendado pelo Bruno indica (muito sumariamente) como as ideias
> de Euler podem ser traduzidas em termos atuais, ou seja, no contexto de
> produtos infinitos (acompanhados das necessarias discussoes sobre
> convergencia).
> JP
>
>
> ----- Original Message -----
> From: Bruno F. C. Leite <bruleite@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, April 04, 2002 12:50 PM
> Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
>
>
> Há um artigo na página http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/rjc.html, na seção
> "Miscellaneous articles and surveys": "Evaluating zeta(2)", que demostra
> isso de 14 maneiras diferentes!
>
> O link direto é http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.dvi
> ou
> http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.ps
> ou
> http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf
>
> Espero ter ajudado.
>
> Bruno Leite
> http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>
> At 12:25 04/04/02 -0300, you wrote:
>
> >árdua tarefa..
> >
> >-- Mensagem original --
> >
> > >O Paulo Santa Rita já respondeu isso. Procure nos arquivos.
> > >
> > >ghaeser@zipmail.com.br wrote:
> > >
> > >>sabemos que sum(1/k^2), k=1 até infinito = pi^2/6
> > >>
> > >>alguém sabe me dizer pq ???
> > >>
> > >>agradeço desde já
> > >>
> > >>Gabriel Haeser
> > >>www.gabas.cjb.net
> > >>
> > >>
> > >>
> > >>"Mathematicus nascitur, non fit"
> > >>Matemáticos não são feitos, eles nascem
> > >>
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> > >>Use o melhor sistema de busca da Internet
> > >>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
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> > >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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