Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Luis Lopes,

eu realmente nao sei se vai ajudar, mas o exercicio 13 da pagina 76 do livro
Functions of One Complex Variable do John B. Conway fala sobre essa funcao.
De uma olhada.

Eduardo Casagrande Stabel.

From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
> Sauda,c~oes,
>
> Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
>
> Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
>
> Quando r é par, temos o seguinte resultado:
>
> H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
>
> onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
> raio de convergência).
>
> Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
> {1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
>
> Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
> a expansão em séries de  z/(e^z-1).
>
> Como provar que os coeficientes desta série
> são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
>
> B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
>
> Alguma referência?
>
> []'s
> Luís
>
> -----Mensagem Original-----
> De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: quinta-feira, 4 de abril de 2002 22:22
> Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
>
>
> > Muito obrigado mesmo por esta interessantissima referencia!
> > Aproveito para comentar que a demonstracao de Euler (que foi a
primeira),
> > reproduzida pelo Paulo Santa Rita (estava sumido, hein?) emprega seres
> muito
> > estranhos (tais como relacoes de Girard para "polinomios
infinitos"[sic])
> > que hoje nao sao aceitos em Matematica. No entanto, a demonstracao
numero
> 7
> > do texto recomendado pelo Bruno indica (muito sumariamente) como as
ideias
> > de Euler podem ser traduzidas em termos atuais, ou seja, no contexto de
> > produtos infinitos (acompanhados das necessarias discussoes sobre
> > convergencia).
> > JP
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: Bruno F. C. Leite <bruleite@terra.com.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Thursday, April 04, 2002 12:50 PM
> > Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
> >
> >
> > Há um artigo na página http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/rjc.html, na seção
> > "Miscellaneous articles and surveys": "Evaluating zeta(2)", que demostra
> > isso de 14 maneiras diferentes!
> >
> > O link direto é http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.dvi
> > ou
> > http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.ps
> > ou
> > http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf
> >
> > Espero ter ajudado.
> >
> > Bruno Leite
> > http://www.ime.usp.br/~brleite
> >
> >
> >
> > At 12:25 04/04/02 -0300, you wrote:
> >
> > >árdua tarefa..
> > >
> > >-- Mensagem original --
> > >
> > > >O Paulo Santa Rita já respondeu isso. Procure nos arquivos.
> > > >
> > > >ghaeser@zipmail.com.br wrote:
> > > >
> > > >>sabemos que sum(1/k^2), k=1 até infinito = pi^2/6
> > > >>
> > > >>alguém sabe me dizer pq ???
> > > >>
> > > >>agradeço desde já
> > > >>
> > > >>Gabriel Haeser
> > > >>www.gabas.cjb.net
> > > >>
> > > >>
> > > >>
> > > >>"Mathematicus nascitur, non fit"
> > > >>Matemáticos não são feitos, eles nascem
> > > >>
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> > > >>Use o melhor sistema de busca da Internet
> > > >>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
> > > >>
> > > >>
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> > > >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > >>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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> > >"Mathematicus nascitur, non fit"
> > >Matemáticos não são feitos, eles nascem
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