[obm-l] Re: [obm-l] raio de convergência

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Esta eh uma das vantagens dos complexos sobre os reais.
O lado esquerdo f(z) tem uma singularidade evitavel em z=0
[ou seja, defina f(0) como sendo 1 = lim f(z) qunado z tende a 0];
por outro lado o denominador e^z-1 so se anula em z=i 2k pi.
Portanto, f(z) eh analitica (holomorfa) no disco de centro 0 e raio 2pi.
Logo o raio de convergencia de sua serie de potencias eh 2pi,
que eh a distancia de 0 ("centro" da serie) ateh a singularidade mais
proxima.
[Se estivessemos em R, nao bastaria olhar para o lado esquerdo].
JP


----- Original Message -----
From: Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, March 13, 2002 2:11 PM
Subject: [obm-l] raio de convergência


Sauda,c~oes,

Sabe-se que

z/(e^z-1) = sum_{i>=0} (B_i / i!) z^i.   (*)

Os B_i são os números de Bernoulli dados
por B_0=1, B_1= -1/2 e B_i=A^i para i>=2, onde

A^0=1, A^1=1/2 e  (A-1)^i=A^i. Assim,
(A-1)^3=A^3 ==> A^3 - 3A^2 + 3A^1 - 1 = A^3 e
A^2=1/6=B_2. Temos também que B_3=B_5=B_7....=0.

Qual é e como se calcula o raio de convergência
da série (*)?

[]'s
Luís


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