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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_
Para mostrar a concavidade do seno em [0,Pi],como o seno e' uma funcao
continua,basta ver que se x-h,x e x+h estao em [0,Pi] entao sen x >
1/2(sen(x-h)+sen(x+h)).Como sen(x+h)=sen x.cos h+sen h.cos x e sen(x-h)=
sen x.cos h-sen h.cos x,1/2(sen(x+h)+sen(x-h))=sen x.cos h < sen x,pois
sen x e' positivo e cos h < 1 (a menos que tenhamos h=0).
Abracos e saudacoes Rubro-Negras e VERDE-E-ROSAS!!!!!!
Gugu
>
>At 19:14 12/02/02 -0300, you wrote:
>>Mas como eh q vc DEFINE concavidade sem Calculo?
>
>Oi David,
>
>A definição de convexidade NAO depede de calculo. definimos que f é convexa
>em um intervalo I se para todo 0<=k<=1 e s<t em I,
>f(ks+(1-k)t)<=kf(s)+(1-k)f(t).
>
>Isso é, a reta que liga (s,f(s)) a (t,f(t)) passa por cima do grafico de f
>entre s e t.
>
>Mas, se f for diferenciavel, entao f é convexa se e só se df/dx for
>crescente...(aqui entra o calculo, mas nao na definição...)
>
>Bruno Leite
>http://www.ime.usp.br/~brleite
>
>
>
>>-----Mensagem original-----
>>De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Data: Terça-feira, 12 de Fevereiro de 2002 08:46
>>Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.
>>
>>
>> >Excelente.
>> >Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para
>> >transferir o problema do produto de senos para a soma de senos.
>> >Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe
>> >a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial?
>> >Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico"
>> >Mas valeu a elegancia da sua demonstracao.
>> >JP
>> >
>> >
>> >----- Original Message -----
>> >From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
>> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> >Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM
>> >Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.
>> >
>> >
>> >Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8
>> >utilizando as desigualdades das médias e de Jensen.
>> >
>> >Só relembrando as duas desigualdades:
>> >
>> >A desigualdade das médias é a seguinte: dados n
>> >números reais não negativos, sua média aritmética é
>> >maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e
>> >somente se, todos os n números são iguais.
>> >
>> >A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma
>> >função com convexidade para baixo num intervalo.
>> >Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a
>> >média aritmética das f's dos números é menor ou igual
>> >à f da média aritmética dos números.
>> >
>> >A função seno tem concavidade para baixo no intervalo
>> >[0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo:
>> > sen a sen b sen c
>> > <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3
>> > <= [sen((a+b+c)/3)]^3
>> > = [sen((pi/2)/3)]^3
>> > = 1/8
>> >
>> >Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo
>> >para mostrar que a função sen tem concavidade para
>> >baixo. Existe uma solução totalmente elementar que
>> >prova que
>> > sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2
>> >para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro
>> >direito a identidade.
>> >
>> >[]'s
>> >Shine
>> >
>> >
>> >--- Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br> wrote:
>> >> 1) Usando as formulas de transformacao de soma em
>> >produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a:
>> > 4 sen 2a sen 2b sen 2c,
>> >> enquanto o lado direito eh igual a:
>> > 4 cos a cos b cos c. Verifique se confere.
>> >> 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a,
>> >etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) =
>> >sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com
>> >a+b+c=pi/2).
>> >
>> >> Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se
>> >puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de
>> >Lagrange mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c)
>> >com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8.
>> >> JP
>> >>
>> >
>> >
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>> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> >O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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