Re: [obm-l] Re:

["haroldo" <divaneto@xxxxxxxxxx>]

saudações a todos.
obrigado pela demonstraçAo mestre Jose Paulo Carneiro.

voltando ao problema sen A/2.Sen B/2. sen C/2<= 1/8
sabendo que sen A/2.   sen B/2 . sen C/2 = r/4R,pergunto: podemos demonstrar
a desigualdade acima sem usar cálculo . SEdemonstrarmos que r/4R<=1/2. Como?
onde r é o raio do círculo inscrito e R o raio do círculo circunscrito ao
triangulo.

-----Mensagem original-----
De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 13 de Fevereiro de 2002 11:59
Assunto: Re: [obm-l] Re:


>Minha demonstracao favorita da desigualdade das medias eh a seguinte
>(vou fazer para 3 numeros):
>
>Sejam x, y, z tres numeros positivos.
>Chame de A a sua media aritmetica e de P o seu produto.
>Se x=y=z, entao P=A^3.
>Caso contrario, existirah um menor m e um maior M (ainda pode haver 2
>iguais, eh claro),
>e necessariamente m<A<M (facil provar).
>Imagine entao a lista dos 3 numeros ordenada em ordem crescente (sem perda
>de generalidae, suponha x<=y<=z, com x=m<z=M).
>Substitua agora o menor x=m por A e o maior z=M por x+z-A, isto eh, a nova
>lista eh:
>A, y, x+z-A.
>Para esta segunda lista, a media aritmetica continua sendo A, enquanto o
>novo produto eh
>P'=Ay(x+z-A).
>Este novo produto eh maior que o produto anterior P (aqui estah o segredo),
>pois
>P'-P=Ay(x+z-A)-xyz = y(z-A)(A-x)>0.
>
>Examinemos entao a segunda lista e apliquemos a ela o mesmo raciocinio:
>se os 3 forem iguais, serao iguais a A (este caso corresponde ao caso de 2
>iguais na primeira lista). Caso contrario, ha um menor m' e um maior M'.
>Nenhum desses 2 pode ser igual a A, ja que m'<A<M', como acima.
>Logo, a nova lista, quando ordenada, serah m', A, M', com m'+M'=2A.
>Substitui-se novamente m' por A e M' por m'+M'-A=A.
>Como acima, esta terceira lista tem produto P''>P'>P.
>So que a lista agora eh A, A, A, ou seja P''=A^3.
>Temos entao: P=xyz < P'' = A^3 = [(x+y+z)/3]^3.
>
>Como vimos, se os 3 da lista fossem iguais, teriamos a igualdade.
>Conclusao: Raiz cubica de xyz eh menor que ou igual a (x+y+z)/3
>
>Obs.1: no caso de n numeros, ha que provar (uitlizando o Principio da Boa
>Ordenacao) que a lista vai acabar (no fim de quantos passos?) tendo todos
os
>termos iguais.
>Obs.2: do ponto de vista didatico, aconselha-se ao principiante praticar
>primeiro com listas concretas.
>
>JP
>
>
>
>
>
>
>----- Original Message -----
>From: <asselin@zipmail.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, February 11, 2002 11:16 AM
>
>
>> Sejam x, y, z reais positivos. Prove:
>>
>> (x+y+z)/3 >= 3rd root de (xyz)
>>
>> Depois generalize para n reais.
>> O caso para n=2 eh o mais simples.
>> Como provar sem se basear neste caso?
>> Alguem usaria o Polinomio de Leibniz ?
>>
>> Abracos,
>> Asselin.
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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