Re: [obm-l] Re:_[obm-l]___dúvida_trigonometria_.

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Só completando. Se a desigualdade
    f((x1 + x2 + ... + xn)/n)
 <= (f(x1) + f(x2) + ... + f(xn))/n
vale para todos xi's em um intervalo I para n=2, vale
para todos xi's no mesmo intervalo para n>=3. Isso
decorre da definição do Márcio para convexidade. O
mesmo vale se trocarmos <= por >=. Vou demonstrar
isso:

Suponha que f((x1 + x2)/2) <= (f(x1) + f(x2))/2 para
todos x1, x2 pertencentes a um intervalo I. Não é
complicado mostrar que vale para n = 2^m (é só usar
indução sobre m). Vou mostrar para n = 4, por exemplo:

    f((x1 + x2 + x3 + x4)/4)
  = f([(x1 + x2)/2 + (x3 + x4)/2]/2)
 <= [f((x1 + x2)/2) + f((x3 + x4)/2)]/2
 <= [(f(x1) + f(x2))/2 + (f(x3) + f(x4))/2]/2
  = [f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4)]/4

Agora suponha que vale para n=k. Mostrarei que vale
para n=k-1. (o quê? uma indução "ao contrário"? isso
mesmo! para mostrar que vale para um t qualquer, tome
uma potência de 2 maior que t e "desça" até t.)

Como vale para n=k, temos
    f((x1 + x2 + ... + xk)/k)
 <= (f(x1) + f(x2) + ... + f(xk))/k (*)

Tome xk = (x1 + x2 + ... + x(k-1))(k-1). Verifique que
xk pertence a I. Temos x1 + x2 + ... + xk = (k-1)xk +
xk = k*xk, logo (x1 + x2 + ... + xk)/k = (x1 + x2 +
... + x(k-1))/(k-1). Substituindo em (*), temos
    f((x1 + x2 + ... + x(k-1))/(k-1))
 <= (f(x1) + f(x2) + ... + f(xk))/k
e substituindo xk aí em cima, temos o resultado
desejado.

Pode-se demonstrar de modo análogo a desigualdade das
médias.

A partir da outra definição de convexidade do Bruno
podemos demonstrar a desigualdade de Jensen em uma
forma mais geral. Quem quiser confira o artigo do
prof. Antonio Caminha em uma das Eureka!s, em
   http://www.obm.org.br/abstrac.htm

[]'s
Shine

--- Marcio <mcohen@iis.com.br> wrote:
> Oi Bruno. Se a gente supor f continua, acho q uma
definicao equivalente, mas mais facil de ser lidada,
eh:
> Def.: f eh convexa no intervalo I se, para todo
[a,b] contido em I, f[(a+b)/2] < [f(a)+f(b)]/2    
(coloque o sinal de igual qdo apropriado).
> 
>     Que a definicao abaixo implica a de cima eh
obvio (faz k=1/2, s=a, t=b), mas o interessante e que
a reciproca tambem eh verdadeira..
>     Pra mostrar a concavidade de sen em [0, Pi]
p.ex, basta ver entao que: [f(a)+f(b)]/2 < f[(a+b)/2] 
(eh o contrario da def. anterior).
> (sena + senb)/2 = sen(a/2)cos(a/2) +
> sen(b/2)cos(b/2) > sen(a/2)cos(b/2) +
> sen(b/2)cos(a/2)
> <=>   sen(a/2)[cos(a/2)-cos(b/2)] <
> sen(b/2)[cos(a/2)-cos(b/2)] <=>
> [sen(a/2) - sen(b/2)][cos(a/2)-cos(b/2)]<0
> Mas isso eh verdade, pq a/2 e b/2 estao em [0,Pi/2],
onde o cos eh decrescente e o seno crescente.
> 
>     Eu digitei a demonstracao de que se f eh
continua entao a definicao de funcao convexa que eu
dei la em cima eh equivalente a outra. Me parece
correta. Se alguem quiser, avise que eu mando numa
mensagem pra lista.. Nao escrevi tudo junto nesse
email pq ia deixar ele grande.
> 
>     Abracos,
>     Marcio
> 
> PS: Para resolver o problema original dos senos (nao
o original propriamente dito, mas o modificado pelo
JP) essa discussao sobre as definicoes eh irrelevante.
Vc pode assumir a definicao simples, e copiar a
demonstracao de Jensen para concluir que f[(a+b+c)/3]
> [f(a)+f(b)+f(c)]/3
 
> ----- Original Message -----
> From: "Bruno F. C. Leite" <bruleite@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, February 13, 2002 1:05 AM
> Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
> Re:_[obm-l]_
> dúvida_trigonometria .
> 
> 
> > At 19:14 12/02/02 -0300, you wrote:
> > >Mas como eh q vc DEFINE concavidade sem Calculo?
> >
> > Oi David,
> >
> > A definição de convexidade NAO depede de calculo.
> definimos que f é
> convexa
> > em um intervalo I se para todo 0<=k<=1 e s<t em I,
> > f(ks+(1-k)t)<=kf(s)+(1-k)f(t).
> >
> > Isso é, a reta que liga (s,f(s)) a (t,f(t)) passa
> por cima do grafico de f
> > entre s e t.
> >
> > Mas, se f for diferenciavel, entao f é convexa se
> e só se df/dx for
> > crescente...(aqui entra o calculo, mas nao na
> definição...)
> >
> > Bruno Leite
> > http://www.ime.usp.br/~brleite
> >
> 
> 
>
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