[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Excelente.
Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para
transferir o problema do produto de senos para a soma de senos.
Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe
a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial?
Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico"
Mas valeu a elegancia da sua demonstracao.
JP


----- Original Message -----
From: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.


Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8
utilizando as desigualdades das médias e de Jensen.

Só relembrando as duas desigualdades:

A desigualdade das médias é a seguinte: dados n
números reais não negativos, sua média aritmética é
maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e
somente se, todos os n números são iguais.

A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma
função com convexidade para baixo num intervalo.
Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a
média aritmética das f's dos números é menor ou igual
à f da média aritmética dos números.

A função seno tem concavidade para baixo no intervalo
[0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo:
    sen a sen b sen c
 <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3
 <= [sen((a+b+c)/3)]^3
  = [sen((pi/2)/3)]^3
  = 1/8

Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo
para mostrar que a função sen tem concavidade para
baixo. Existe uma solução totalmente elementar que
prova que
  sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2
para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro
direito a identidade.

[]'s
Shine


--- Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br> wrote:
> 1) Usando as formulas de transformacao de soma em
produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a:
 4 sen 2a sen 2b sen 2c,
> enquanto o lado direito eh igual a:
 4 cos a cos b cos c.  Verifique se confere.
> 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a,
etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) =
sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com
a+b+c=pi/2).

> Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se
puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de
Lagrange  mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c)
com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8.
> JP
>



__________________________________________________
Do You Yahoo!?
Send FREE Valentine eCards with Yahoo! Greetings!
http://greetings.yahoo.com
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================