Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8
utilizando as desigualdades das médias e de Jensen.

Só relembrando as duas desigualdades:

A desigualdade das médias é a seguinte: dados n
números reais não negativos, sua média aritmética é
maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e
somente se, todos os n números são iguais.

A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma
função com convexidade para baixo num intervalo.
Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a
média aritmética das f's dos números é menor ou igual
à f da média aritmética dos números.

A função seno tem concavidade para baixo no intervalo
[0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo:
    sen a sen b sen c
 <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3
 <= [sen((a+b+c)/3)]^3
  = [sen((pi/2)/3)]^3
  = 1/8

Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo
para mostrar que a função sen tem concavidade para
baixo. Existe uma solução totalmente elementar que
prova que
  sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2
para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro
direito a identidade.

[]'s
Shine


--- Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br> wrote:
> 1) Usando as formulas de transformacao de soma em
produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a:
 4 sen 2a sen 2b sen 2c,
> enquanto o lado direito eh igual a:
 4 cos a cos b cos c.  Verifique se confere.
> 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a,
etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) =
sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com
a+b+c=pi/2).

> Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se
puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de
Lagrange  mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c)
com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8.
> JP
> 



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