Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! solucao certa!

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Bom, quando eu mandei aquela solucao antes, era pq tinha achado que era
curta e bonita, embora agora saiba que ela era errada e feia :) Como eu
prometi, segue uma solucao, dessa vez correta (acredito eu!) pro problema 2
do Marcelo.. Nao eh bonita, mas tem umas ideias legais que aparecem em
varios outros problemas..

2) x,y,z reais positivos, para r>0, mostre que
S(x,y,z) = [x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)>=0

    Como S eh simetrico (i.e, trocar duas variaveis nao altera o polinomio),
posso supor, sem perda de generalidade, que
x>y>z (o maior eh pra ser entendido como >= sempre).
    Mas ainda, como S eh um polinomio homogeneo ( para t>0,  S(x,y,z) >0 <=>
S(tx,ty,tz)>0), posso fazer uma normalizacao do tipo x=1.
    Entao, tenho que y>z>1, e eh suficiente mostrar que:
S(1,y,z) = (1-y)(1-z) + (y^r)(y-1)(y-z) + (z^r)(z-1)(z-y) >=0.
    Mas o primeiro produto eh positivo, pois y>1 e z>1, e portanto, ja
fatorando o (y-z)>0, eh soh mostrar que:
(y^r)(y-1) - (z^r)(z-1)  > 0. Mas isso segue de nos multiplicarmos as
desigualdades y^r>z^r>0 e y-1>z-1>0.

Pronto! Nao gosto muito quando tenho que usar essas coisas pouco
simetricas.. mas tudo bem :) Espero que dessa vez esteja correto..

    Abracos!


----- Original Message -----
From: "Marcio" <mcohen@iis.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 10, 2002 11:08 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)


> Ignorem essa solucao ai embaixo.. Fui escrevendo direto no email a ideia
que
> tive, e acabei cometendo um erro grosseiro, que resultou nesse monte de
> besteira ai embaixo :) Eh Claro que minha primeira desigualdade S>=... ja
> nao pode ser suposta verdadeira...
> Vou tentar dar uma solucao correta pro problema..
> Desculpem..
> Abracos,
> Marcio
>
> ----- Original Message -----
> From: "Marcio" <mcohen@iis.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Sunday, February 10, 2002 9:51 PM
> Subject: Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)
>
>
> > Oi Marcelo! Td bom? Bom, eu discordo um pouco de que teoria seja
monotona,
> > embora eu concorde que a gente poderia estar mandando mais exercicios
pra
> > lista!
> >
> > Acho q vc pode fazer o 2o assim:
> > Seja k = min(x^r, y^r, z^r) e seja S a expressao do lado esquerdo da
> > desigualdade. Entao, k >= 0 e:
> > S >= k*[(x-y)(x-z) + (y-x)(y-z) + (z-x)(z-y)] = k*[x^2 + y^2 + z^2 -
xy -
> > xz - yz]  =
> > (k/2)*[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 ] >= 0.
> >
> >
> > Essa ultima passagem eh um problema bem conhecido, e poderia ter sido
> feita
> > de outras maneiras.. Por exemplo, ela eh consequencia direta da
> desigualdade
> > do rearranjo.. ou da desigualdade das medias pra x e y.
> >
> > Os casos que dao igualdades sao faceis de analisar.. Ou  k = 0, ou entao
> > x=y=z, que eh exatamente o que vc disse.
> >
> > []'s
> > Marcio
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: "Marcelo Souza" <marcelo_souza7@hotmail.com>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Sunday, February 10, 2002 3:15 PM
> > Subject: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)
> >
> >
> > > 2. Prove a seguinte desigualdade:
> > > x,y,z reais positivos, para r>0
> > > [x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)>=0
> > > Com igualdade x=y=z, ou então se dois deles forem iguais e o terceiro
> > igual
> > > a 0.
> >
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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