Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Oi Marcelo! Td bom? Bom, eu discordo um pouco de que teoria seja monotona,
embora eu concorde que a gente poderia estar mandando mais exercicios pra
lista!

Acho q vc pode fazer o 2o assim:
Seja k = min(x^r, y^r, z^r) e seja S a expressao do lado esquerdo da
desigualdade. Entao, k >= 0 e:
S >= k*[(x-y)(x-z) + (y-x)(y-z) + (z-x)(z-y)] = k*[x^2 + y^2 + z^2 - xy -
xz - yz]  =
(k/2)*[ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2 ] >= 0.


Essa ultima passagem eh um problema bem conhecido, e poderia ter sido feita
de outras maneiras.. Por exemplo, ela eh consequencia direta da desigualdade
do rearranjo.. ou da desigualdade das medias pra x e y.

Os casos que dao igualdades sao faceis de analisar.. Ou  k = 0, ou entao
x=y=z, que eh exatamente o que vc disse.

[]'s
Marcio

----- Original Message -----
From: "Marcelo Souza" <marcelo_souza7@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, February 10, 2002 3:15 PM
Subject: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)


> 2. Prove a seguinte desigualdade:
> x,y,z reais positivos, para r>0
> [x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)>=0
> Com igualdade x=y=z, ou então se dois deles forem iguais e o terceiro
igual
> a 0.


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