Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Agora a 2, pra terminar...
2) Posso assumir que y  não é nem o maior nem o menor entre x, y e z, pois a
desigualdade é simétrica. Como x-z = (x-y)+(y-z), temos que :
[x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y) =
= [x^r](x-y)^2 + [x^r](x-y)(y-z) + [y^r](y-x)(y-z) + [z^r](z-y)^2 +
[z^r](z-x)(y-x)  =
= [x^r](x-y)^2 + [z^r](z-y)^2 + (y-x)(y-z)(y^r - x^r - z^r).
Basta analisar (y-x)(y-z)(y^r - x^r - z^r).
Se x >= y >= z, temos que (y-x) <= 0 e (y-z)>=0 e y^r - x^r - z^r <=0 e
segue o que queríamos..
Se z >= y >= x temos (y-x) >= 0 e (y-z)<=0 e y^r - x^r - z^r <=0 e segue o
que queríamos..
Então acabou...
Abraços,
   Villard
-----Mensagem original-----
De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 10 de Fevereiro de 2002 16:14
Assunto: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)


>Essa lista está ficando muito monótona, sem muitas discussões sobre
>problemas, só o pessoal atacando na teoria. Vou colocar alguns problemas
>aqui e espero que vocês mandem soluções =)
>1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por
>a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)]   n>=3
>ache uma expressão fechada para a_n.
>2. Prove a seguinte desigualdade:
>x,y,z reais positivos, para r>0
>[x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)>=0
>Com igualdade x=y=z, ou então se dois deles forem iguais e o terceiro igual
>a 0.
>3.Sejam a,b,c reais positivos satisfazendo abc=1. Mostre que:
>1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b)>=3/2
>valeu
>abraços
>Marcelo
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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