Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

3) Bem, essa condição abc = 1, às vezes pede que a gente faça a=1/x, b=1/y e
c=1/z ( Lembrem do problema 2 da imo de 99 eu acho ). Ela é boa, pois ainda
temos xyz=1. Fazendo isso, queremos que :
 x^2/(y+z) + y^2/(x+z) + z^2/(x+y) >= 3/2. Bem, temo quadrados do lado
"maior" da desigualdade... isso lembra cauchy...
Cauchy diz que (a^2+b^2+c^2)*(d^2+e^2+f^2) >= (ad+be+cf)^2.
Tome : a = x/sqrt(y+z), b= y/sqrt(x+z), c=z/sqrt(x+y), d=sqrt(y+z),
e=sqrt(x+z), f=sqrt(x+y).
Então  :
[ x^2/(y+z) + y^2/(x+z) + z^2/(x+y) ] * 2(x+y+z) >= (x+y+z)^2 e daí segue
que :
[ x^2/(y+z) + y^2/(x+z) + z^2/(x+y) ] >= (x+y+z)/2 >= 1/2 *3 raiz
cúbica(xyz)=3/2
A última desigualdade segue da desigualdade das médias...
Abraços,
 Villard
-----Mensagem original-----
De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 10 de Fevereiro de 2002 16:14
Assunto: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)


>Essa lista está ficando muito monótona, sem muitas discussões sobre
>problemas, só o pessoal atacando na teoria. Vou colocar alguns problemas
>aqui e espero que vocês mandem soluções =)
>1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por
>a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)]   n>=3
>ache uma expressão fechada para a_n.
>2. Prove a seguinte desigualdade:
>x,y,z reais positivos, para r>0
>[x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)>=0
>Com igualdade x=y=z, ou então se dois deles forem iguais e o terceiro igual
>a 0.
>3.Sejam a,b,c reais positivos satisfazendo abc=1. Mostre que:
>1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b)>=3/2
>valeu
>abraços
>Marcelo
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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