Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

1) Suponha que a(n) = r^n é solução. Então r^3 - 4r^2 + 5r - 2 = 0. Mas isso
é equivalente a r^2(r-1) -3r(r-1)+2(r-1)=0, ou seja (r-1)^2 * (r-2) = 0.
Então a gente vê que r=1 ou r = 2. É fácil notar que se algumas sequências
satisfazem a recorrência dada, então combinações lineares destas tb
satisfazem... e isso nos permite ajustar os coeficientes dessa combinação
linear, de modo que as condições iniciais sejam satisfeitas. Seja X(n) =
m*2^n + j + n*t, onde m, j e t são constantes.
 X(1) = 2m + j + t = 1
 X(2) = 4m + j + 2t = 0
 X(3) = 8m + j + 3t = -5
Daí, 2m + t = -1 e 4m + t = -5, logo m = -2 e t = 3 e j = 2.
Então X(n) = -2^(n+1) + 2 + 3n. É fácil ver que essa sequência satisfaz o
pedido...

Vou tentar mandar as outras daki a poko...
Abraços, Villard


-----Mensagem original-----
De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 10 de Fevereiro de 2002 16:14
Assunto: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)


>Essa lista está ficando muito monótona, sem muitas discussões sobre
>problemas, só o pessoal atacando na teoria. Vou colocar alguns problemas
>aqui e espero que vocês mandem soluções =)
>1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por
>a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)]   n>=3
>ache uma expressão fechada para a_n.
>2. Prove a seguinte desigualdade:
>x,y,z reais positivos, para r>0
>[x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)>=0
>Com igualdade x=y=z, ou então se dois deles forem iguais e o terceiro igual
>a 0.
>3.Sejam a,b,c reais positivos satisfazendo abc=1. Mostre que:
>1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b)>=3/2
>valeu
>abraços
>Marcelo
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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