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Valeu Shine.Essas questões são do Matemática
Elementar.Já tinha feito todas as outras e empaquei nessas.
----- Original Message -----
Sent: Monday, December 24, 2001 2:05
AM
Subject: Re: duvidinhas...
Bom, se alguém foi infectado, tem um anti-vírus
(grátis)
em
http://www.grisoft.com
E
já que o Eder pediu ajuda, vou fazer as questões que
ele enviou... aí a
mensagem (espero eu) não fica tão
off-topic (desculpas...)
1) Para
mostrar que f é bijetora, basta mostrar que é
injetora (isto é, se f(x) =
f(y) então x = y) e
sobrejetora (ou seja, a imagem da função coincide
com
o conjunto de chegada). Suponha que f(x) = f(y).
Então
(2x-s) / (x (s-x) ) = (2y-s) / (y (s-y)
)
<=> y(s-y)(2x-s) = x(s-x)(2y-s)
<=> 2xys - ys^2 - 2xy^2 +
sy^2 =
2xys - xs^2 - 2yx^2 + sx^2
<=> (x-y)(s^2
- s(x+y) + 2xy) = 0
<=> (x-y)( (s-x)(s-y) + xy ) = 0
Mas
0<x,y<s, logo (s-x)(s-y) > 0 e xy > 0, o que
implica (s-x)(s-y)
+ xy > 0. Logo x = y e f é
injetora.
Agora, temos que mostrar que
a imagem de f é o
conjunto dos reais. Seja a um real. Temos
f(x) = a
<=> (2x-s) / (x (s-x) ) =
a
<=> x^2 - sx + 2ax
- sa = 0
<=> x^2 +
(2a - s)x - sa = 0
Seja g(x) = x^2 + (2a - s)x - sa. Mostraremos que
g(x)
tem exatamente uma raiz real entre 0 e s. Para isso,
basta termos
g(0).g(s) < 0 (pois g é contínua). Mas
g(0) = -sa e g(s) = s^2 + 2as -
s^2 - sa = sa,
portanto g(0).g(s) = -(sa)^2. Se a = 0, temos f(s/2) =
a
= 0. Se a != 0, g(0).g(s) < 0. Logo a equação g(x) =
0, que é
equivalente a f(x) = a sempre tem uma solução
entre 0 e s, o que é o mesmo
que dizer que para
qualquer a existe x tal que f(x) = a. Logo f
é
sobrejetora.
Assim sendo, f é bijetora.
2) Temos que
mostrar que a imagem de f é N. Seja m um
natural qualquer. Provaremos que m
está na imagem de
f. Tome um número natural n tal que f(n) >= m
(que
existe devido à propriedade a). Pela propriedade b, An
está contido
no conjunto imagem de f. Logo, como m é
menor ou igual a f(n), m pertence a
An e portanto
também pertence à imagem de f.
Espero ter ajudado...
tanto na matemática como na
informática...
[]'s
Shine
---
Eder <edalbuquerque@uol.com.br>
wrote:
> Desculpa mesmo pela mancada pessoal.O Shine me
> sugeriu
um link com um anti-vírus.Baixei o programa
> e ele removeu todos os
arquivos infectados.É chato
> isso.Mil desculpas...Espero que a mensagem
já esteja
> "limpa".Ah,ainda gostaria de ajuda naquelas questões
>
que postei.
>
> Foi mal aí ...
> ----- Original
Message -----
> From: André Amiune
> To:
obm-l@mat.puc-rio.br
> Sent: Sunday, December 23, 2001 7:36
PM
> Subject: Re: duvidinhas...
>
>
> Seu computador está com o virus VBS.haptime.A@mm
>
> ----- Original Message -----
> From:
"Eder" <edalbuquerque@uol.com.br>
>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>
Sent: Sunday, December 23, 2001 2:30 PM
> Subject:
duvidinhas...
>
>
> HelpOlá,eu não estou
conseguindo resolver estas
> questões.Se
> alguém
puder ajudar...
>
> 1)Demonstre que f,definida no
intervalo 0<x<s
> (com
s>0)
> do seguinte modo :
>
>
f(x)=(2x-s) / (x (s-x) ) é uma função bijetora
>
desse
> intervalo nos reais.
>
>
2)Seja N o conjunto dos números naturais e f : NèN
>
uma
> função que satisfaz as propriedades:
>
> a)Dado qualquer m pertencente a N existe n
tal
> que
> f(n) é maior ou igual a
m.
> b)Ar={s pertence a N tal que s é menor ou igual
a
> f(r)
> } está contido no conjunto imagem de f.para
todo e
> pertencente
> a N.
>
> Mostre que f é sobrejetiva.
>
>
>
>
>
>
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