Re: Questão

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Para p>2 vale que é inteiro sim. Eu mandei a resolução dessa pra eureka ...
vou mandar resumidamente o que eu fiz :
Primeiro cabe notar que para E = (2^(p-1)-1)/p ser quadrado, p deve
satisfazer  a afirmação : p==1mod6.
p ímpar, logo (2^(p-1)-1)==0mod3. Se p=3, então E=1 que é quadrado, logo p=3
é solução. Se p>3, 3 divide E, logo 9 divide E, pois E é quadrado. Daí,
(2^(p-1)-1)==0mod9, logo 2^(p-1)==1mod9. Como 2^6==1mod9, e 6 é o menor
natural com esta propriedade ( é denominado a ordem de 2, mod9 ), então 6
divide p-1. logo está provada a afirmação.
Daí, p=1+6k entào E=(2^(6k) - 1)/p=(2^(3k)-1)(2^(3k)+1)/p.
Seja d = mdc{2^(3k)-1;2^(3k)+1}. Então d divide a diferença : d divide 2.
Como d é ímpar, d=1. Então, como 2^(3k)-1 e 2^(3k)+1 não têm fatores em
comum, um deles deve ser quadrado perfeito, enquanto o outro dividido por p
tb o deve ser.

-Caso 1: 2^(3k)-1 é quadrado.
2^(3k)-1 = (2^k-1)(2^(2k)+2^k+1). Seja h=mdc{2^k-1;2^(2k)+2^k+1}. h divide
(2^k-1)^2 e 2^(2k)+2^k+1, logo divide a diferença 3*2^(2k). Como h é ímpar,
h=1ou3. Se d=1, 2^k-1 e 2^(2k)+2^k+1 devem ser quadrados, o que é
ímpossível, pois (2^k)^2 < 2^(2k)+2^k+1 < (2^k+1)^2, ou seja,  2^(2k)+2^k+1
está entre 2 quadrados consecutivos. Se h=3, (2^k-1)/3 é quadrado (ímpar),
logo (2^k-1)/3 ==1mod8, logo 2^k==4mod8 o que implica k=2 que não gera uma
solução.

-Caso 2: 2^(3k)+1 é quadrado.
2^(3k)+1 = q^2 ... 2^(3k) = (q+1)(q-1), logo q+1 e q-1 devem ser potências
de 2 e a única possibilidade é q=3, logo k=1 e assim, p=7, que é solução.

Logo as únicass soluções são p=3 e p=7.
Desculpem qq desatenção, verifiquem se puder.

Usei alguns fatos que podem ser desconhecidos por alguns. Naquela hora da
"ordem". Se t é ordem de a modM, então se a^y==1modM, t divide y. Prova :
Divida y por t, ou seja, y=t*u+r, com r<t. Daí,
a^y=a^(t*u+r)=(a^t)^u*a^r==a^r==1, mas isso só é possível se r=0, pois por
definição, t é o menor número com essa propriedade, logo t divide y. E só
mais uma coisa..... x^2=1mod8, se x é ímpar. Isso decorre de
(2j+1)^2=4j(j+1) +1. como j(j+1) é par, 8 divide 4j(j+1), logo x^2==1mod8.
Abraços,
   Villard




-----Mensagem original-----
De: Vinicius José Fortuna <ra992559@ic.unicamp.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 25 de Dezembro de 2001 14:34
Assunto: Re: Questão


>Ué,
>
>Para p=2:
>
>(2^1 - 1)/2 = 1/2, que não é inteiro!!!!
>
>Será que entendi errado??
>
>Pelo exemplo entendi que a fórmula é (2^(p-1)-1)/p.
>Creio que este seja um problema proposto na Eureka de setembro e a fórmula
>era assim.
>
>Qual o teorema de Euler?
>
>Boas festas a todos!
>
>Até mais
>
>[     Vinicius José Fortuna      ]
>[ vinicius.fortuna@ic.unicamp.br ]
>[  Visite www.viniciusf.cjb.net  ]
>
>
>On Tue, 25 Dec 2001, Henrique Lima Santana wrote:
>
>>
>>    Ae pessoal,
>> deem uma olhada nessa questão
>>   ache todos os p, primos, tais que 2^p-1 -1/p seja um quadrado perfeito.
( 
>> essa expressão resulta  sempre num n° inteiro-> pelo teorema de Euler)
>>     --> ex: pra p=7 => 2^6 -1/7=9 q eh quadrado perf.
>>   valeu
>>     Henrique
>> 
>> 
>> _________________________________________________________________
>> Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com
>> 
>