Re: duvidinhas...

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Bom, se alguém foi infectado, tem um anti-vírus
(grátis) em

http://www.grisoft.com

E já que o Eder pediu ajuda, vou fazer as questões que
ele enviou... aí a mensagem (espero eu) não fica tão
off-topic (desculpas...)

1) Para mostrar que f é bijetora, basta mostrar que é
injetora (isto é, se f(x) = f(y) então x = y) e
sobrejetora (ou seja, a imagem da função coincide com
o conjunto de chegada). Suponha que f(x) = f(y). Então

    (2x-s) / (x (s-x) ) = (2y-s) / (y (s-y) )
<=> y(s-y)(2x-s) = x(s-x)(2y-s)
<=> 2xys - ys^2 - 2xy^2 + sy^2 =
    2xys - xs^2 - 2yx^2 + sx^2
<=> (x-y)(s^2 - s(x+y) + 2xy) = 0
<=> (x-y)( (s-x)(s-y) + xy ) = 0

Mas 0<x,y<s, logo (s-x)(s-y) > 0 e xy > 0, o que
implica (s-x)(s-y) + xy > 0. Logo x = y e f é
injetora.

Agora, temos que mostrar que a imagem de f é o
conjunto dos reais. Seja a um real. Temos

f(x) = a <=> (2x-s) / (x (s-x) ) = a
         <=> x^2 - sx + 2ax - sa = 0
         <=> x^2 + (2a - s)x - sa = 0

Seja g(x) = x^2 + (2a - s)x - sa. Mostraremos que g(x)
tem exatamente uma raiz real entre 0 e s. Para isso,
basta termos g(0).g(s) < 0 (pois g é contínua). Mas 
g(0) = -sa e g(s) = s^2 + 2as - s^2 - sa = sa,
portanto g(0).g(s) = -(sa)^2. Se a = 0, temos f(s/2) =
a = 0. Se a != 0, g(0).g(s) < 0. Logo a equação g(x) =
0, que é equivalente a f(x) = a sempre tem uma solução
entre 0 e s, o que é o mesmo que dizer que para
qualquer a existe x tal que f(x) = a. Logo f é
sobrejetora.

Assim sendo, f é bijetora.

2) Temos que mostrar que a imagem de f é N. Seja m um
natural qualquer. Provaremos que m está na imagem de
f. Tome um número natural n tal que f(n) >= m (que
existe devido à propriedade a). Pela propriedade b, An
está contido no conjunto imagem de f. Logo, como m é
menor ou igual a f(n), m pertence a An e portanto
também pertence à imagem de f.

Espero ter ajudado... tanto na matemática como na
informática...

[]'s
Shine

--- Eder <edalbuquerque@uol.com.br> wrote:
> Desculpa mesmo pela mancada pessoal.O Shine me
> sugeriu um link com um anti-vírus.Baixei o programa
> e ele removeu todos os arquivos infectados.É chato
> isso.Mil desculpas...Espero que a mensagem já esteja
> "limpa".Ah,ainda gostaria de ajuda naquelas questões
> que postei.
> 
> Foi mal aí ...
>   ----- Original Message ----- 
>   From: André Amiune 
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
>   Sent: Sunday, December 23, 2001 7:36 PM
>   Subject: Re: duvidinhas...
> 
> 
>   Seu computador está com o virus VBS.haptime.A@mm
> 
>   ----- Original Message -----
>   From: "Eder" <edalbuquerque@uol.com.br>
>   To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>   Sent: Sunday, December 23, 2001 2:30 PM
>   Subject: duvidinhas...
> 
> 
>   HelpOlá,eu não estou conseguindo resolver estas
> questões.Se
>   alguém puder ajudar...
> 
>   1)Demonstre que f,definida no intervalo 0<x<s
>    (com s>0)
>   do seguinte modo :
> 
>   f(x)=(2x-s) / (x (s-x) ) é uma função bijetora
> desse
>   intervalo nos reais.
> 
>   2)Seja N o conjunto dos números naturais e f : NèN
> uma
>   função que satisfaz as propriedades:
> 
>   a)Dado qualquer m pertencente a N existe  n  tal
> que
>   f(n) é maior ou igual a m.
>   b)Ar={s pertence a N tal que s é menor ou igual a
> f(r)
>   } está contido no conjunto imagem de f.para todo e
> pertencente
>   a N.
> 
>   Mostre que f é sobrejetiva.
> 
> 
> 
> 
> 
> 


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