Re: IME (era: "Re:d�vida")

["Ralph Teixeira" <ralph@xxxxxx>]

sqrt(5-sqrt(5-x))=x

Mknha solu��o � uma mistura de tudo o que voc� falou.... No bra�o, elevando
ao quadrado e tal:

5-sqrt(5-x)=x^2
5-x^2=sqrt(5-x)
25-10x^2+x^4=5-x
x^4-10x^2+x+20=0

    Agora note que as ra�zes de sqrt(5-x)=x s�o ra�zes da equa��o original,
certo (eu n�o disse TODAS)? Isto d� uma dica de que o meu polin�mio de
quarto grau deve ser divis�vel por x^2+x-5.... De fato, aquela equa��o se
torna:

(x^2+x-5)(x^2-x-4)=0

    E agora � f�cil achar as 4 ra�zes....

x1=(-1+sqrt(21))/2
x2=(-1-sqrt(21))/2
x3=(1+sqrt(17))/2
x4=(1-sqrt(17))/2

    Mas o processo de elevar ao quadrado pode introduzir ra�zes estranhas!
Por exemplo, olhe a equa��o original e note que x>=0, o que invalida x2 e
x4. De fato, para reverter os passos onde elevamos ao quadrado, temos de
verificar duas coisas:

i) 5-x^2>=0
ii) x>=0

    Para x1, note que x1<=5, ent�o sqrt(5-x1)=x1; portanto
sqrt(5-sqrt(5-x1))=sqrt(5-x1)=x1 satisfaz a equa��o.
    Para x3, note que x3^2=(18+2sqrt(17))/4>=20/4=5, e, portanto, 5-x3^2<=0;
assim, x3 n�o serve!

    Assim, a �nica solu��o � x1=(sqrt(21)-1)/2.

    Abra�o,
        Ralph