Re: IME (era: "Re:dúvida")

["Ralph Teixeira" <ralph@xxxxxx>]

sqrt(5-sqrt(5-x))=x

Mknha solução é uma mistura de tudo o que você falou.... No braço, elevando
ao quadrado e tal:

5-sqrt(5-x)=x^2
5-x^2=sqrt(5-x)
25-10x^2+x^4=5-x
x^4-10x^2+x+20=0

    Agora note que as raízes de sqrt(5-x)=x são raízes da equação original,
certo (eu não disse TODAS)? Isto dá uma dica de que o meu polinômio de
quarto grau deve ser divisível por x^2+x-5.... De fato, aquela equação se
torna:

(x^2+x-5)(x^2-x-4)=0

    E agora é fácil achar as 4 raízes....

x1=(-1+sqrt(21))/2
x2=(-1-sqrt(21))/2
x3=(1+sqrt(17))/2
x4=(1-sqrt(17))/2

    Mas o processo de elevar ao quadrado pode introduzir raízes estranhas!
Por exemplo, olhe a equação original e note que x>=0, o que invalida x2 e
x4. De fato, para reverter os passos onde elevamos ao quadrado, temos de
verificar duas coisas:

i) 5-x^2>=0
ii) x>=0

    Para x1, note que x1<=5, então sqrt(5-x1)=x1; portanto
sqrt(5-sqrt(5-x1))=sqrt(5-x1)=x1 satisfaz a equação.
    Para x3, note que x3^2=(18+2sqrt(17))/4>=20/4=5, e, portanto, 5-x3^2<=0;
assim, x3 não serve!

    Assim, a única solução é x1=(sqrt(21)-1)/2.

    Abraço,
        Ralph