RES: IME (era: "Re:dúvida")

["M. A. A. Cohen" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Oi Alexandre! Bom, acabei de comentar essa questao :)) Acho que o pessoal
nao comentou pq a lista estava com problemas!
Quanto as suas observacoes, cabem alguns comentarios!
A primeira solucao que vc coloca (divulgada pelo gpi) eh essencialmente
identica a ´solucao do Poliedro´ (trocando y por f(x)). A maioria dos alunos
de ensino medio sabem ateh mais do que o que vc disse. Sabem que se vc tem
uma bijecao de A em ACR e vc coloca os dois graficos num mesmo eixo, entao
eles sao simetricos em relacao a bissetriz y=x e em particular soh podem se
encontrar sobre a reta.
Soh nao concordo que a segunda solucao esteja totalmente correta, embora a
ideia seja legal.
Nao me parece obvio, a principio, que a sequencia f(f(f( .. .f(x) ))) seja
convergente (talvez ateh seja e eu nao esteja vendo o motivo direto). De
fato, eh quase que imediato do enunciado que se a sequencia tiver sempre um
numero par de f´s, entao ela converge (de fato eh constante qdo x satisfaz a
equacao dada). Se tem um numero impar de f´s, ela tmb converge (tmb eh
constante). Falta mostrar que esses dois valores sao iguais, e isso eh mto
parecido com resolver o problema inicial.. Uma solucao feita desse jeito
esta eh www.pensi.com.br
Vc vai inclusive notar varias semelhancas entre essa e a sua penultima
solucao, pq essencialmente o problema final eh o mesmo.
A sua ultima solucao eh bastante legal. Essa foi a solucao do curso Elite,
que eu falei no ultimo email. Nao conheco esse professor que vc cita, mas se
nao me engano, essa solucao tambem foi dada em prova, por um aluno do elite.
t+
Marcio

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Alexandre
Tessarollo
Enviada em: quarta-feira, 14 de novembro de 2001 18:18
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: IME (era: "Re:dúvida")




luis felipe wrote:

> concordo com o alexandre
>
> a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas
questões
> estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar
> também uma falha grave no enunciado da questão 8
>
> valeu
>
> luis felipe

    Já que ninguém comenta, comento eu. Comecemos pela questão 9.

"Resolva a equação sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x>0."

    Eu já devo ter visto umas 4 soluções diferentes, mas em quase todas
havia
pelo menos um passo não justificado ou "questionável"... Uma delas era:

Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo,  f(x)=f^(-1)(x). Aí vem a
parte "é
fácil ver que" os gráficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta
y=x. A
partir daí, temos f(x)=x, resolve-se uma equação do segundo grau e pronto.
Mas
falta demonstrar a parte "é fácil ver"...

Outra diz:

    Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito, teremos
f(f(f(f(....(f(x))...))))=x. Logo, podemos trocar todos os
f(f(f...(f(x))...)))
de "dentro" do primeiro "f" por "x". Assim teremos f(x)=x e novamente é só
resolver a eq do segundo grau. A solução, olhando com carinho, está certa,
mas
foi utilizado o conceito de limite.

Ainda há uma terceira, esta já sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se
da
solução do Poliedro:

    Como x>0 e real, temos que 0<x<5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equação
original
transforma-se em
sqrt(5-y)=x (II)
    Elevando I e II ao quadrado, temos:
y^2=5-x    III
x^2=5-y    IV
    Fazendo III-IV, temos
y^2-x^2=y-x
(y+x)(y-x)=y-x
(y+x)(y-x)-(y-x)=0
(y-x)(y+x-1)=0

    Segue que
y-x=0    V

OU

y+x-1=0    VI

    De V segue a nossa equação do segundo grau. Considerando o intervalo
0<x<5,
só teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em III
ou
IV, teremos uma equação do segundo grau que resulta só uma resposta no
intervalo
0<x<5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III e
IV,
precisamos verificar via teste se essas duas soluções servem ou não. Fazendo
isso só teremos a resposta correta...

Há ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino:

    Elevando a equação ao quadrado e arrumando, temos:
5-x=sqrt(5-x)

    Elevando novamente, temos:

25-10x^2+x^2=5-x

    O que todo mundo tenta daqui em diante é somar tudo num lado só, chegar
num
polinômio do QUARTO grau e não conseguir resolvê-lo - ele não possui raízes
"óbvias", sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc não quiser
ver,
pare aqui..

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Bum!! Brincadeirinha... :0)

    Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a equação
assim:

25-(2x^2+1)5+x^4+x=0

    Um olho treinado verá uma equação do SEGUNDO grau em CINCO. Isso mesmo,
algo
da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos:

5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2
Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, deveríamos colocar
o
módulo mas, como já existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica:

5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2

    Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solução...

[]'s

Alexandre Tessarollo