Re: Polinômios/ITA

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

 --- Euraul@aol.com escreveu: >        Olá,
>        Gostaria de ajuda para questões de polinômios
> que estiveram em provas 
> do ITA:
> 1-) Seja a equação p(x) = 0 , onde p(x) é um
> polinômio de grau m. Se p(x) 
> admite uma raiz inteira, então p(-1).p(0).p(1) é
> divisível por 3. Prove.

p(x) pode ser escrito como:

p(x)= a_m (x-r_1).(x-r_2).(x-r_3)....(x-r_m) , onde
r_i
 1<=i<=m representa uma das raizes de p(x). 

 suponha que a raiz inteira seja r_t (1<=t<=m).Fazendo
p(-1)= (-1 - r_1).....(-1 - r_t)....(-1 - r_m)
p(0) = (0 - r_1 ).....(0 - r_t).....(0 - r_m)
p(1) = (1 - r_1).....(1 - r_t ).....(1 - r_m)

Perceba que se eu fizer p(-1).p(0).p(1) eu terei o
produto imbutido (-1 - r_t).(0 - r_t).(1 - r_t ) que
são 3 inteiros consecutivos pois r_t é inteiro.E como
o produto de 3 inteiros consecutivos é divisível por 3
a questão fica demonstrada.

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