RES: Polinômios/ITA

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

> Gostaria de ajuda para questões de polinômios que estiveram em provas do
ITA:

> 3-) Se p(x) e q(x) são polinômios com coeficientes reais , possuem grau 2
e 4 respectivamente e > ainda p(i) = 0 e q(i) = 0; então podemos afirmar que
p(x).q(x) é divisível por x^4+2x^2 +1.
> Prove.

Solucao:

LEMA: Se f(x) eh um polinomio com coeficientes reais e se f(a+bi)=0, entao
f(a-bi)=0.

Como p(i) = 0 = q(i) entao i eh raiz p e de q.  Logo, segundo o lema, -i
tambem eh raiz de p e de q.  Como i e -i sao raizes de p, entao

[1]	p(x) = (x-i)(x+i)u(x)=(x^2+1)u(x)

para algum polinomio u(x).
Como i e -i sao raizes de q, entao

[2]	q(x) = (x-i)(x+i)v(x)=(x^2+1)v(x)

para algum polinomio v(x).  De [1] e [2],

p(x)q(x) = (x^2+1)(x^2+1)u(x)v(x)

p(x)q(x) = (x^4 + 2x^2 + 1)u(x)v(x)

isto eh, p(x)q(x) eh divisivel por x^4+2x^2+1.

Abracos,

Eric.

> Obrigado pela atenção,
>            Raul