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Solução:
Faz a
figura para ficar mais fácil de ver...
Como
M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA temos
que:
Os
quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem
angulos opostos somando 180 graus.
Como o
quadrilátero ABCD é inscritível, temos que: <CBD=<CAD=x (ler angulo
BCD...)
<ABD=<ACD=y, <BAD=<BDC=z,
<ADB=<BCA=w.
Como:
BMNI é
inscritível: <MBI=<MNI=y, <NBI=<NMI=x
NIPC é
inscritível: <NCI=<NPI=w, <INP=<ICP=y
PIQD é
inscritível: <IPQ=<IDQ=w, <IQP=<IDP=z
MIQA é
inscritível: <QAI=<QMI=x, <MAI=<MQI=x
Daí
notamos que no quadrilátero MNQP <QMN=2x, <MNP=2y, <NPQ=2w, <MQP=2z,
E MI, NI, PI, QI são bissetrizes desses ângulos, respectivamente. Como todas as
bissetrizes de seus ângulos se encontram num ponto (I) esse quadrilátero é
circunscritível e I é seu centro, já que ele equidista dos lados...
Einstein
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