Solução:
Faz
a figura para ficar mais fácil de ver...
Como
M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA
temos que:
Os
quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem
angulos opostos somando 180 graus.
Como
o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que: <CBD=<CAD=x (ler angulo
BCD...)
<ABD=<ACD=y, <BAD=<BDC=z,
<ADB=<BCA=w.
Como:
BMNI
é inscritível: <MBI=<MNI=y, <NBI=<NMI=x
NIPC
é inscritível: <NCI=<NPI=w, <INP=<ICP=y
PIQD
é inscritível: <IPQ=<IDQ=w, <IQP=<IDP=z
MIQA é inscritível: <QAI=<QMI=x,
[Einstein] ( <MAI=<MQI= x) Ei galera, foi mal, o que tá
entre parênteses tá errado... <MAI=<MQI=z Continuando, acho que tá
certo...
Desculpe qualquer eventual
erro...
Daí
notamos que no quadrilátero MNQP <QMN=2x, <MNP=2y, <NPQ=2w,
<MQP=2z, E MI, NI, PI, QI são bissetrizes desses ângulos, respectivamente.
Como todas as bissetrizes de seus ângulos se encontram num ponto (I) esse
quadrilátero é circunscritível e I é seu centro, já que ele equidista dos
lados...
Einstein
seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e
seja I ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre
os lados AB, BC,CDe DA
são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero
MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em
I.