Re: IV Ibero Universitaria-Questão5

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Ainda sobre a Ibero Universitária, queria falar sobre a questão 5. Bem, eu
notei que a função está diretamente ligada ao conjunto de Cantor.... e
acabei "concluindo" que a função assume valores racionais para todos os
REAIS entre 0 e 1. Mas isso é muito mais forte do que era pra ser provado...
o q acharam ?
 Abraços,
     ¡Villard!
-----Mensagem original-----
De: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@impa.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 10 de Outubro de 2001 18:14
Assunto: Re: IV Ibero Universitaria


>   Vamos la':vamos provar que se |f'(x)|<=|f(x)| para todo x e f(x)=0 para
>algum x entao f(x)=0 para todo x.Para isso,vou mostrar que se f(x)=0 entao
>existe c>0 tal que |y-x|<c implica f(y)=0 (isso claramente implica o
>resultado).Para isso note que existe 0<c<1/2 tal que |y-x|<c implica
>|f(y)|<1 (de fato f e' derivavel e portanto continua).Vamos provar por
>inducao que para todo k natural e todo y com |y-x|<c,|f(y)|<1/2^k,o que
>encerra a prova.Para k=0 isso vale.Suponhamos que vale para um certo k.
>Pelo teorema do valor medio,dado y com |y-x| existe z entre y e x com
>|f(y)|=|f(y)-f(x)|=|f'(z)(y-x)|<=c|f(z)|<=|f(z)|/2<=1/2^(k+1),cqd.
>     Abracos,
>             Gugu
>>
>>Alo pessoal,quero uma ajuda:
>>Quero muito saber como fazer a questao 2 da IV ibero universitaria
>>
>