Re:_IV_Ibero_Universitaria-Questão5

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Olá Villard e amigos da lista!

Eu acho que isso não é verdade...

Para quem não viu o problema, ele era o seguinte:
considere uma função f de [0;1] para [0;1] com as
propriedades:

a) f(0) = 0
b) se x <= y então f(x) <= f(y)
c) f(1-x) = 1 - f(x)
d) f(x/3) = f(x)/2

O problema é provar que f(x) é racional quando x é
racional.

Começando a fazer, percebe-se que f(1/2) = 1/2 (x =
1/2 em c) e f(1/3) = f(2/3) = 1/2 (x = 1 em d e depois
x = 1/3 em c). Logo, por b, f(x) = 1/2 para 1/3 <= x
<= 2/3.

Depois, partindo disso, vc pode obter f(x) = 1/4 para
1/9 <= x <= 2/9 e f(x) = 3/4 para 7/9 <= x <= 8/9.
Pode-se continuar o raciocínio para potências maiores
de 3. Enfim, o gráfico da função fica mais ou menos
assim:

   A
  1+                    *
   |                   .
3/4+                --
   |               .
1/2+      --------
   |     .
1/4+  --
   | .
   *------+------+------+---->
   0     1/3    2/3     1

Ou seja, a função anda de passinhos em passinhos. Mas
isso não prova muita coisa... O conjunto de Cantor a
que o Villard se referiu é o conjunto de números entre
0 e 1 que têm pelo menos um 1 na base 3 (ou seja,
quando escrevemos x = (0,a1a2a3...an...)_3 = a1/3 +
a2/3^2 + a3/3^3 + ... + an/3^n + ..., ai = 0, 1 ou 2,
aparece pelo um 1 entre os ai's). Observa-se fazendo
alguns cálculos que f(x) é um número racional cuja
base é uma potência de 2 quando x é um número do
conjunto que acabei de definir (na verdade, não lembro
se o conjunto de Cantor é o que defini ou o
complementar dele em relação a [0;1]...).

Para ou outros casos (ou seja, quando só aparecem 0 ou
2 entre os ai's), só consegui provar construindo as
seguintes seqüências: seja x um número só com zeros e
dois. Suponha que apareçam infinitos 0's e 2's nos
dígitos, de forma periódica (que é o que caracteriza
um número racional em qualquer base inteira). Construa
as seqüências xn e yn onde xn é o número obtido
trocando-se o n-ésimo 0 por 1 na representação em base
3 de x e yn é o mesmo trocando-se o n-ésimo 2 por 1.
Fazendo mais alguns cálculos, prova-se que o limite de
ambas a seqüências quando n tende a infinito é igual a
número y = (0,b1b2...bn...)_2 (mudamos para a base 2!)
onde o dígito bi é obtido dividindo-se ai por 2.

Observe que este argumento vale para qualquer número
que tenha infinitos zeros e infinitos 2's. Assim, se
tomarmos x = (0,2002000020000002...)_3 (os 2's estão
nas k^2-ésimas posições) que é irracional temos f(x) =
(0,1001000010000001...)_2 que também é irracional.

Só falta agora o caso em que aparece um número finito
de 2's ou 0's. No primeiro caso, se o número x é
racional, o período da dízima na base 3 é composto só
de zeros, ou seja, x = 0,...20000... = 0,...12222... e
caímos no primeiro caso que estudamos. No segundo
caso, o período da dízima é composto de 2's, ou seja,
x = 0,...02222... = 0,...1 e novamente caímos no
primeiro caso.

Peço desculpas se a mensagem está muito longa... é que
o problema é longo...

[]'s
Shine

--- Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
wrote:
> Ainda sobre a Ibero Universitária, queria falar
sobre a questão 5. Bem, eu notei que a função está
diretamente ligada ao conjunto de Cantor.... e acabei
"concluindo" que a função assume valores racionais
para todos os REAIS entre 0 e 1. Mas isso é muito mais
forte do que era pra ser provado...
> o q acharam ?
>  Abraços,
>      ¡Villard!
> -----Mensagem original-----



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