RES: Aula no IMPA

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

Oi Luis!
Eu mandei ha pouco tempo uma mensagem pra lista que trata exatamente da
solucao desse problema utilizando jensen. Eu traduzi de uma lista
(imo-problems), de um cara chamado 'Petrov' (fiquei sabendo hoje na aula que
ele eh Russo, e ganhou medalha de ouro na imo da romenia)..
Essa versao generalizada foi proposta no site da imo, onde estao tmb as
solucoes de todas as questoes.
1. f(x) = 1/sqrt(x) eh convexa. (pode ver pelo grafico ou pela segunda
derivada por exemplo.. deve dar na conta tmb, usando medias).
2. como a desigualdade eh homogenea (ja comentaram isso aqui) vc pode supor
a+b+c=1.
3. por Jensen, fica-se com
a*f(a^2+kbc)+b*f(b^2+kac)+c*f(c^2+kba) >= f(a^3+kabc+b^3+kabc+c^3+kabc)
logo, eh suficiente provar que:
1/sqrt(a^3+b^3+c^3+3kabc) >= 3/sqrt(k+1) ou seja,
9( a^3+b^3+c^3+3kabc ) <= k+1
agora,
a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3 - 3*(b*a^2+b*c^2+a*b^2+a*c^2+c*b^2+c*a^2)+6abc
mas, a expressao dentro dos parentesis eh maior ou igual a 6* sua media
geometrica, isto eh, (...)>=6abc. (logo, -3*(...) <= -18abc )
logo, 9(a^3+b^3+c^3+3kabc)<= 9*(1 - 18abc)
e, 9*(1-18abc)<=k+1 s.s.s 162abc + k >= 8 o q eh valido pois k>=8 e abc>=0.

Isso prova a desigualdade para k >= 8.

Ja tendo visto a solucao normal por jensen, o mais dificil nessa
generalizacao talvez seja mostrar que para k<8 ela nao vale, como vc fez
abaixo..

Agora, muito interessante mesmo foram as solucoes apresentadas na aula no
impa para a questao 6. Bem legais mesmo! Uma delas esta no site da imo.

Abracos,
Marcio

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Luis Lopes
Enviada em: Segunda-feira, 16 de Julho de 2001 11:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Aula no IMPA


Sauda,c~oes,

Recebi a seguinte mensagem (pedaço dela) do prof. Rousseau.

===
I assume that you have seen the IMO problems already.  The second
problem has a nice generalization:  For all  k \geq 8  and a,b,c > 0,

a/\sqrt{a^2 + k bc} + b/sqrt{b^2 + k ca} + c^2/\sqrt{c^2 + k ab}
\geq 3/\sqrt{1+k} .

(For 0 < k < 8 this is clearly false by, for example, fixing
a and b and letting c \rightarrow \infty.)   The original problem and
its generalization can be knocked off quite easily using Jensen's
inequality.

Cecil
===

Fica a sugestão (a desigualdade de Jensen apareceu numa Eureka)
para aqueles que tentaram resolver este problema e também para a
aula no IMPA desta tarde, se esta mensagem chegar a tempo aos
envolvidos.

[ ]'s
Lu'is

e também