Re: problema

["Bruno Leite" <bruleite@xxxxxxxxxx>]

Hmmmm...

As soluções do http://www.kalva.demon.co.uk/ são muito compactas, né? Acho
que não valem nada se vc não pensou no problema...

Bruno Leite

PS Acho que a solução que eu mostrei é mais ou menos a mesma que está lá no
site dele.

-----Mensagem original-----
De: Marcelo Rufino de Oliveira <marcelo_rufino@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 6 de Julho de 2001 01:21
Assunto: Re: problema


>Um comentário com relação as questões propostas das imos pelo Henrique é
>que, apesar de vários de nossos colegas terem capacidade de resolvê-las e
>acrescentar bastante à lista, a discussão de problemas antigos das imo
>perdeu um pouco a "graça" depois que lançaram um site que contem todas as
>imo resolvidas, desde a primeira, em 1959, até a última, em 2000. O
endereço
>é http://www.kalva.demon.co.uk/ e é de autoria de um inglês (obviamente a
>página é toda em inglês), inclusive tem um link no site da obm para este
>site. Nesta página tem também as Putnam resolvidas desde 1975, certamente
>para quem nunca viu vale a pena dar uma olhada. A segunda questão proposta
é
>bem famosa e é encarada como uma das mais difíceis que já cairam em imos.
Eu
>já devo ter visto pelo menos umas 5 soluções distintas para esta questão em
>vários livros de olimpíadas (Winning Solutions, Mathematical Olympiad
>Challenges, etc.).
>De toda maneira, soluções distintas das apresentadas no site que eu citei
>são bem vindas.
>
>Falou,
>Marcelo Rufino
>
>----- Original Message -----
>From: Henrique Lima Santana <santanahenrique@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Thursday, July 05, 2001 10:53 PM
>Subject: Re: problema
>
>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>      Valeu Paulo! Essas não eram realmente difíceis, mas esse seu método
>de
>> ensinar até q é legal hehe :)
>>      Agora tem 2 aqui q são bem difíceis(aparentemente), pelo menos eu
não
>> consegui sair do lugar:
>>     1. (imo 90) determine todos os n naturais tais q ( 2^n +1 )/n^2 é
>> inteiro
>>     2. (imo 88) prove q se a e b são naturais e (a^2 + b^2)/(ab + 1) é
>> inteiro então (a^2 + b^2)/(ab + 1) é quadrado perfeito
>>      Obrigado mais uma vez,
>>       []´s Henrique
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >Subject: Re: problema
>> >Date: Thu, 05 Jul 2001 19:13:04
>> >
>> >Ola Henrique,
>> >
>> >Sem duvida que voce pode fazer as questoes abaixo ...
>> >
>> >>From: "Henrique Lima Santana" <santanahenrique@hotmail.com>
>> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >>Subject: problema
>> >>Date: Thu, 05 Jul 2001 14:18:53 -0300
>> >>
>> >>olah, algumas duhvidas nessas questões de teoria dos nºs...
>> >>
>> >>1.prove q pra todo n natural, 3^2n+1 + 2^n+2 é multiplo de 7 e que
>> >>3^2n+2 + 2^6n+1 é multiplo de 11.
>> >
>> >
>> >3^(2n+1) + 2^(n+2)=3*(9^n) + 4*(2^n)
>> >Para n=1 => 3*(9^n) + 4*(2^n)= 35 ( divisivel por 7 )
>> >
>> >Ja que 7 | 3*(9^n) + 4*(2^n) entao 7 | 2*( 3*(9^n) + 4*(2^n) )
>> >entao 7 | 6*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 | ( 6*(9^n) + 8*(2^n) ) + 21*9^n
>> >entao 7 | 27*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 |3*(9^(n+1)) + 4*(2^(n+1))
>> >
>> >Logo, vale para todo n natural.
>> >Agora voce faz o caso 11, falou ?
>> >
>> >
>> >>2.mostrar q pra nenhum n natural 2^n + 1 é um cubo.
>> >
>> >2^n + 1=a^3 => "a^3" e impar => "a" e impar
>> >2^n = a^3 - 1 => 2^n=(a-1)*(a^2 + a + 1)
>> >Nao e essa ultima igualdade um evidente absurdo ? (Por que ?)
>> >Entao, 2^n + 1 nao pode ser um cubo perfeito !
>> >
>> >
>> >>3. mostrar q 3 eh o unico primo p / p, p+2 e p+4 são todos primos.
>> >
>> >olhe para p,p+1,p+2,p+3,p+4. Dado que "p" e primo entao ele deixa resto
1
>> >ou
>> >2 ( e congruo a ) quando dividido por 3, certo ? E entao:
>> >
>> >se o resto for 1 implica o que ?
>> >se o resto for 2 implica o que ?
>> >
>> >
>> >
>> >>  qualquer ajuda será bem-vinda!
>> >>      Henrique
>>
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>http://www.hotmail.com.
>> >
>> >Francamente, depois destas posso avaliar como deve se sentir um desses
>Tios
>> >de Jardim de Infancia ... Beeen ! (A mumia paralitica toca o sinete )
>> >Valeu.
>> >E isso ai Henrique. Cai dentro que Matematica e como andar de bicicleta
:
>> >so
>> >fazendo muitos exercicios a gente se desenrola e adquire desenvoltura.
>> >
>> >Um abraco pra voce
>> >Paulo Santa Rita
>> >5,1612,05072001
>> >
>>
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