Re: problema

["Bruno Leite" <bruleite@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: Henrique Lima Santana <santanahenrique@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 5 de Julho de 2001 23:02
Assunto: Re: problema


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>     Valeu Paulo! Essas não eram realmente difíceis, mas esse seu método de
>ensinar até q é legal hehe :)
>     Agora tem 2 aqui q são bem difíceis(aparentemente), pelo menos eu não
>consegui sair do lugar:
>    1. (imo 90) determine todos os n naturais tais q ( 2^n +1 )/n^2 é
>inteiro
>    2. (imo 88) prove q se a e b são naturais e (a^2 + b^2)/(ab + 1) é
>inteiro então (a^2 + b^2)/(ab + 1) é quadrado perfeito

O segundo problema é, segundo a lenda, o mais difícil de todas as imos.

Eu conheço uma solução curta mas com uma idéia bem "do outro mundo".

Vamos dizer que (x,y) é uma solução se x e y são inteiros e (x^2 +
y^2)/(xy+1) é inteiro.

Se (a,b) é uma solução, então (a^2 + b^2)/(ab + 1)=k, com k inteiro. Então
temos a^2 + b^2 -kab - k=0. Vamos mostrar que k é um quadrado perfeito.

Considere a equação de 2º grau em x  x^2 + b^2 -kbx - k=0. Quais são suas
soluçoes? Uma é "a" (óbvio!) e a outra é "kb-a", pois a soma das soluções
deve dar kb. Então se (a,b) é uma solução com a>b>=0 teremos que (b, kb-a)
também é uma solução.

Suponha que já conseguimos provar que b>kb-a>=0. Se chamarmos kb-a de c,
vimos que se (a,b) é solução com a>b>=0 então (b, c) também será solução com
b>c>=0. repetindo o processo e chamando d=kc-b, vemos que (c, d) será
solução com c>d>=0.

Isso mostra que se acharmos uma solução (a_1,a_2), então podemos achar
outras soluções (a_2,a_3), (a_3,a_4),etc, com a_1>a_2>a_3>a_4...  Como
a_1,a_2,a_3,a_4... são inteiros não-negativos, não podem decrescer sempre:
haverá uma hora em que teremos a_j=0. Assim como (a_2,a_3), (a_3,a_4),etc
 são soluções, (a_(j-1),a_j) é solução. Isso significa que [a_(j-1)^2 +
(a_j)^2] / [a_(j-1)*a_j + 1] = k, ou seja,
k=a_(j-1)^2. Logo k é um quadrado perfeito.

Veja que só ficou faltando a passagem "a>b>0 Implica b>kb-a>0". Não é muito
difícil, vou deixar para vocês completarem...é o sono...

Espero não ter escrito muitas bobagens, amanhã vou ler direitinho o que eu
escrevi..

Bruno Leite

>     Obrigado mais uma vez,
>      []´s Henrique