Re: problema

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Um coment�rio com rela��o as quest�es propostas das imos pelo Henrique �
que, apesar de v�rios de nossos colegas terem capacidade de resolv�-las e
acrescentar bastante � lista, a discuss�o de problemas antigos das imo
perdeu um pouco a "gra�a" depois que lan�aram um site que contem todas as
imo resolvidas, desde a primeira, em 1959, at� a �ltima, em 2000. O endere�o
� http://www.kalva.demon.co.uk/ e � de autoria de um ingl�s (obviamente a
p�gina � toda em ingl�s), inclusive tem um link no site da obm para este
site. Nesta p�gina tem tamb�m as Putnam resolvidas desde 1975, certamente
para quem nunca viu vale a pena dar uma olhada. A segunda quest�o proposta �
bem famosa e � encarada como uma das mais dif�ceis que j� cairam em imos. Eu
j� devo ter visto pelo menos umas 5 solu��es distintas para esta quest�o em
v�rios livros de olimp�adas (Winning Solutions, Mathematical Olympiad
Challenges, etc.).
De toda maneira, solu��es distintas das apresentadas no site que eu citei
s�o bem vindas.

Falou,
Marcelo Rufino

----- Original Message -----
From: Henrique Lima Santana <santanahenrique@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, July 05, 2001 10:53 PM
Subject: Re: problema


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>      Valeu Paulo! Essas n�o eram realmente dif�ceis, mas esse seu m�todo
de
> ensinar at� q � legal hehe :)
>      Agora tem 2 aqui q s�o bem dif�ceis(aparentemente), pelo menos eu n�o
> consegui sair do lugar:
>     1. (imo 90) determine todos os n naturais tais q ( 2^n +1 )/n^2 �
> inteiro
>     2. (imo 88) prove q se a e b s�o naturais e (a^2 + b^2)/(ab + 1) �
> inteiro ent�o (a^2 + b^2)/(ab + 1) � quadrado perfeito
>      Obrigado mais uma vez,
>       []�s Henrique
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> >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: problema
> >Date: Thu, 05 Jul 2001 19:13:04
> >
> >Ola Henrique,
> >
> >Sem duvida que voce pode fazer as questoes abaixo ...
> >
> >>From: "Henrique Lima Santana" <santanahenrique@hotmail.com>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>Subject: problema
> >>Date: Thu, 05 Jul 2001 14:18:53 -0300
> >>
> >>olah, algumas duhvidas nessas quest�es de teoria dos n�s...
> >>
> >>1.prove q pra todo n natural, 3^2n+1 + 2^n+2 � multiplo de 7 e que
> >>3^2n+2 + 2^6n+1 � multiplo de 11.
> >
> >
> >3^(2n+1) + 2^(n+2)=3*(9^n) + 4*(2^n)
> >Para n=1 => 3*(9^n) + 4*(2^n)= 35 ( divisivel por 7 )
> >
> >Ja que 7 | 3*(9^n) + 4*(2^n) entao 7 | 2*( 3*(9^n) + 4*(2^n) )
> >entao 7 | 6*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 | ( 6*(9^n) + 8*(2^n) ) + 21*9^n
> >entao 7 | 27*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 |3*(9^(n+1)) + 4*(2^(n+1))
> >
> >Logo, vale para todo n natural.
> >Agora voce faz o caso 11, falou ?
> >
> >
> >>2.mostrar q pra nenhum n natural 2^n + 1 � um cubo.
> >
> >2^n + 1=a^3 => "a^3" e impar => "a" e impar
> >2^n = a^3 - 1 => 2^n=(a-1)*(a^2 + a + 1)
> >Nao e essa ultima igualdade um evidente absurdo ? (Por que ?)
> >Entao, 2^n + 1 nao pode ser um cubo perfeito !
> >
> >
> >>3. mostrar q 3 eh o unico primo p / p, p+2 e p+4 s�o todos primos.
> >
> >olhe para p,p+1,p+2,p+3,p+4. Dado que "p" e primo entao ele deixa resto 1
> >ou
> >2 ( e congruo a ) quando dividido por 3, certo ? E entao:
> >
> >se o resto for 1 implica o que ?
> >se o resto for 2 implica o que ?
> >
> >
> >
> >>  qualquer ajuda ser� bem-vinda!
> >>      Henrique
>
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http://www.hotmail.com.
> >
> >Francamente, depois destas posso avaliar como deve se sentir um desses
Tios
> >de Jardim de Infancia ... Beeen ! (A mumia paralitica toca o sinete )
> >Valeu.
> >E isso ai Henrique. Cai dentro que Matematica e como andar de bicicleta :
> >so
> >fazendo muitos exercicios a gente se desenrola e adquire desenvoltura.
> >
> >Um abraco pra voce
> >Paulo Santa Rita
> >5,1612,05072001
> >
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> >
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