Re: problema

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Um comentário com relação as questões propostas das imos pelo Henrique é
que, apesar de vários de nossos colegas terem capacidade de resolvê-las e
acrescentar bastante à lista, a discussão de problemas antigos das imo
perdeu um pouco a "graça" depois que lançaram um site que contem todas as
imo resolvidas, desde a primeira, em 1959, até a última, em 2000. O endereço
é http://www.kalva.demon.co.uk/ e é de autoria de um inglês (obviamente a
página é toda em inglês), inclusive tem um link no site da obm para este
site. Nesta página tem também as Putnam resolvidas desde 1975, certamente
para quem nunca viu vale a pena dar uma olhada. A segunda questão proposta é
bem famosa e é encarada como uma das mais difíceis que já cairam em imos. Eu
já devo ter visto pelo menos umas 5 soluções distintas para esta questão em
vários livros de olimpíadas (Winning Solutions, Mathematical Olympiad
Challenges, etc.).
De toda maneira, soluções distintas das apresentadas no site que eu citei
são bem vindas.

Falou,
Marcelo Rufino

----- Original Message -----
From: Henrique Lima Santana <santanahenrique@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, July 05, 2001 10:53 PM
Subject: Re: problema


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>      Valeu Paulo! Essas não eram realmente difíceis, mas esse seu método
de
> ensinar até q é legal hehe :)
>      Agora tem 2 aqui q são bem difíceis(aparentemente), pelo menos eu não
> consegui sair do lugar:
>     1. (imo 90) determine todos os n naturais tais q ( 2^n +1 )/n^2 é
> inteiro
>     2. (imo 88) prove q se a e b são naturais e (a^2 + b^2)/(ab + 1) é
> inteiro então (a^2 + b^2)/(ab + 1) é quadrado perfeito
>      Obrigado mais uma vez,
>       []´s Henrique
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> >From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: problema
> >Date: Thu, 05 Jul 2001 19:13:04
> >
> >Ola Henrique,
> >
> >Sem duvida que voce pode fazer as questoes abaixo ...
> >
> >>From: "Henrique Lima Santana" <santanahenrique@hotmail.com>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>Subject: problema
> >>Date: Thu, 05 Jul 2001 14:18:53 -0300
> >>
> >>olah, algumas duhvidas nessas questões de teoria dos nºs...
> >>
> >>1.prove q pra todo n natural, 3^2n+1 + 2^n+2 é multiplo de 7 e que
> >>3^2n+2 + 2^6n+1 é multiplo de 11.
> >
> >
> >3^(2n+1) + 2^(n+2)=3*(9^n) + 4*(2^n)
> >Para n=1 => 3*(9^n) + 4*(2^n)= 35 ( divisivel por 7 )
> >
> >Ja que 7 | 3*(9^n) + 4*(2^n) entao 7 | 2*( 3*(9^n) + 4*(2^n) )
> >entao 7 | 6*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 | ( 6*(9^n) + 8*(2^n) ) + 21*9^n
> >entao 7 | 27*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 |3*(9^(n+1)) + 4*(2^(n+1))
> >
> >Logo, vale para todo n natural.
> >Agora voce faz o caso 11, falou ?
> >
> >
> >>2.mostrar q pra nenhum n natural 2^n + 1 é um cubo.
> >
> >2^n + 1=a^3 => "a^3" e impar => "a" e impar
> >2^n = a^3 - 1 => 2^n=(a-1)*(a^2 + a + 1)
> >Nao e essa ultima igualdade um evidente absurdo ? (Por que ?)
> >Entao, 2^n + 1 nao pode ser um cubo perfeito !
> >
> >
> >>3. mostrar q 3 eh o unico primo p / p, p+2 e p+4 são todos primos.
> >
> >olhe para p,p+1,p+2,p+3,p+4. Dado que "p" e primo entao ele deixa resto 1
> >ou
> >2 ( e congruo a ) quando dividido por 3, certo ? E entao:
> >
> >se o resto for 1 implica o que ?
> >se o resto for 2 implica o que ?
> >
> >
> >
> >>  qualquer ajuda será bem-vinda!
> >>      Henrique
>
>>_________________________________________________________________________
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http://www.hotmail.com.
> >
> >Francamente, depois destas posso avaliar como deve se sentir um desses
Tios
> >de Jardim de Infancia ... Beeen ! (A mumia paralitica toca o sinete )
> >Valeu.
> >E isso ai Henrique. Cai dentro que Matematica e como andar de bicicleta :
> >so
> >fazendo muitos exercicios a gente se desenrola e adquire desenvoltura.
> >
> >Um abraco pra voce
> >Paulo Santa Rita
> >5,1612,05072001
> >
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