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Esse é um assunto
deveras interessante. Eu me lembro que no 2o ano tb. não ficou muito claro pra
mim esse conceito. Eu só vim a entendê-lo melhor esse ano, quando comecei a ler
um livro que eu peguei na biblioteca da puc. Eu ia pular essa parte e ir direto
pra parte que eu queria entender (tensores), mas acabei achando por bem ler os
conceitos e verificar as falhas daqueles que me ensinaram. Uma delas é a questão
do sinal. Num tinha ficado claro pra mim o que seriam os passos para se chegar a
uma determinada permutação. Vamos, então, por partes:
Primeiro, é interessante lembrar que
um grupo de n elementos arrumados em uma determinada ordem é chamado uma
permutação destes elementos. Você deve saber que existem n! permutações de n
elementos, daí existirem n! parcelas no cálculo de um determinante n x n,
mas isso vem depois.
Eu vou chamar a operaçào de trocar a
posição de dois elementos em uma permutaçào de transposição. Fica
imediatamente claro que se pode obter qualquer permutação dos elementos a partir
de uma outra permutação (inicial) efetuando-se transposições.Isto vai ser útil
para se descrever as propriedades dos determinantes.
Eu vou chamar de inversão o fato de
um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que apareceram
na permutação inicial. No caso de a permutaçào inicial de n números ser a
disposiçào deste em ordem crescente, uma inversào seria basicamente o fato de
aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for
outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo de an, de modo que
uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap antes de um aq, tais
que p > q.
A partir disso, define-se como sendo
uma permutação de primeira classe aquela em que o número de inversões é par; e
de segunda classe, aquela em que o número de inversões é ímpar.
Agora, pode-se definir o
determinante de uma matriz como sendo a soma algébrica de todos os possíveis
fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada
coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam
uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais,
negativamente.
Isto é:
Seja a matriz n x n cujo
elemento aIJ se situa na linha I e na coluna J:
( a11 a12 a13 ...
a1n )
( a21 a22 a23 ...
a2n )
( a31 a32 a33 ...
a3n )
(
... ... ... ...
... )
( an1 an2 an3 ...
ann )
As possíveis
permutações são feitas fixando-se as ordens dos elementos das linhas (ou das
colunas) e permutando os das colunas (ou linhas). Isto é factível por que todas
as parcelas do determinante irão ter necessariamente um elemento de
cada linha e um de cada coluna, pela própria definição.
Assim:
a1p1 x
a2p2 x a3p3 x ... x anpn ,
onde x é o sinal de
multiplicaçào e an é um número, no caso a coluna ocupada pelo elemento da
matriz
Ao se permutar os números de
um a n e atribuir aos índices p1 a pn os elementos ordenados de cada
permutação, se estará obtendo os fatores do determinante da
matriz.
Irei representar
por [p] o número de inversões presentes nos números ordenados p1 a pn em
cada permutação.
Após isso, pode-se
escrever o determinante como sendo a soma dos fatores
(-1) ^ [p] x a1p1 x
a2p2 x a3p3 x ... x anpn
obtidos ao se permutar os números de
1 a n e atribuir aos índices p os números obtidos, como já foi dito
anteriormente.
Putz, ficou muito grande isso!!! Eu
vou mandar outro depois com as pp. dos determinates.
Espero não ter sido muito confuso...
Abraços,
fred
PS - Espero ter
ajudado...
----- Original Message -----
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