-----Mensagem Original-----
Enviada em: Sábado, 16 de Junho de 2001
14:16
Assunto: Re: Determinante
Esse é um
assunto deveras interessante. Eu me lembro que no 2o ano tb. não ficou muito
claro pra mim esse conceito. Eu só vim a entendê-lo melhor esse ano, quando
comecei a ler um livro que eu peguei na biblioteca da puc. Eu ia pular essa
parte e ir direto pra parte que eu queria entender (tensores), mas acabei
achando por bem ler os conceitos e verificar as falhas daqueles que me
ensinaram. Uma delas é a questão do sinal. Num tinha ficado claro pra mim o
que seriam os passos para se chegar a uma determinada permutação. Vamos,
então, por partes:
Primeiro, é interessante lembrar
que um grupo de n elementos arrumados em uma determinada ordem é chamado uma
permutação destes elementos. Você deve saber que existem n! permutações de n
elementos, daí existirem n! parcelas no cálculo de um determinante n x n,
mas isso vem depois.
Eu vou chamar a operaçào de trocar
a posição de dois elementos em uma permutaçào de transposição. Fica
imediatamente claro que se pode obter qualquer permutação dos elementos a
partir de uma outra permutação (inicial) efetuando-se transposições.Isto vai
ser útil para se descrever as propriedades dos determinantes.
Eu vou chamar de inversão o fato de
um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que
apareceram na permutação inicial. No caso de a permutaçào inicial de n
números ser a disposiçào deste em ordem crescente, uma inversào seria
basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem
inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo
de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap
antes de um aq, tais que p > q.
A partir disso, define-se como
sendo uma permutação de primeira classe aquela em que o número de inversões é
par; e de segunda classe, aquela em que o número de inversões é ímpar.
Agora, pode-se definir
o determinante de uma matriz como sendo a soma algébrica de todos os possíveis
fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada
coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz
formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os
demais, negativamente.
Isto é:
Seja a matriz n x n cujo
elemento aIJ se situa na linha I e na coluna J:
( a11 a12 a13 ...
a1n )
( a21 a22 a23 ...
a2n )
( a31 a32 a33 ...
a3n )
(
... ... ... ...
... )
( an1 an2 an3 ...
ann )
As possíveis
permutações são feitas fixando-se as ordens dos elementos das linhas (ou das
colunas) e permutando os das colunas (ou linhas). Isto é factível por que
todas as parcelas do determinante irão ter necessariamente um
elemento de cada linha e um de cada coluna, pela própria definição.
Assim:
a1p1 x a2p2 x a3p3 x ... x anpn ,
onde x é o sinal de
multiplicaçào e an é um número, no caso a coluna ocupada pelo elemento da
matriz
Ao se permutar os números de
um a n e atribuir aos índices p1 a pn os elementos ordenados de cada
permutação, se estará obtendo os fatores do determinante da
matriz.
Irei representar
por [p] o número de inversões presentes nos números ordenados p1 a pn em
cada permutação.
Após isso,
pode-se escrever o determinante como sendo a soma dos fatores
(-1) ^ [p] x
a1p1 x a2p2 x a3p3 x ... x anpn
obtidos ao se permutar os números
de 1 a n e atribuir aos índices p os números obtidos, como já foi dito
anteriormente.
Putz, ficou muito grande isso!!! Eu
vou mandar outro depois com as pp. dos determinates.
Espero não ter sido muito
confuso...
Abraços,
fred
PS - Espero ter
ajudado...
----- Original Message -----
Sent: Monday, June 11, 2001 7:41
PM
Subject: Determinante
Olá, álguém da lista poderia dar uma definição de
deteminante de uma matriz???? É q no 2º aquela definição q nos dão de q eh
um número associado a uma matriz eh muito vaga e nao nos permite entender
regras como as de Chió e de Jacobi e teoremas como o de Laplace
nos forçando a aceitá-las sem saber o porquê delas serem
assim.